Comparison between two types of large sample covariance matrices

Abstract

Let $\{X_{ij}\}$, $i,j=\cdots$, be a double array of independent and identically distributed (i.i.d.) real random variables with $EX_{11}=\mu$, $E|X_{11}-\mu|^{2}=1$ and $E|X_{11}|^{4}<\infty$. Consider sample covariance matrices (with/without empirical centering) $\mathcal{S}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(\mathbf{s}_{j}-\bar{\mathbf{s}})(\mathbf{s}_{j}-\bar{\mathbf{s}})^{T}$ and $\mathbf{S} =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{s}_{j}\mathbf{s}_{j}^{T}$, where $\bar{\mathbf{s}}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{s}_{j}$ and $\mathbf{s}_{j}=\mathbf{T} _{n}^{1/2}(X_{1j},\ldots,X_{pj})^{T}$ with $(\mathbf{T} _{n}^{1/2})^{2}=\mathbf{T} _{n}$, non-random symmetric non-negative definite matrix. It is proved that central limit theorems of eigenvalue statistics of $\mathcal{S}$ and $\mathbf{S} $ are different as $n\rightarrow\infty$ with $p/n$ approaching a positive constant. Moreover, it is also proved that such a different behavior is not observed in the average behavior of eigenvectors.

Soit $\{X_{ij}\}$, $i,j=1,2,\ldots$, un tableau à double entrées, les $X_{ij}$ étant des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et où $\mathbf{E} X_{11}=\mu$, $\mathbf{E} \vert X_{11}-\mu\vert ^{2}=1$ et $\mathbf{E} |X_{11}|^{4}<\infty$. Considérons les matrices de covariances empiriques suivantes (avec/sans centrage empirique): $\mathcal{S}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}(\mathbf{s} _{j}-\bar{ \mathbf {s}})(\mathbf{s} _{j}-\bar{ \mathbf {s}})^{T}$ et $\mathbf{S}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}\mathbf{s} _{j}\mathbf{s} _{j}^{T}$, avec $\bar{ \mathbf {s}}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}\mathbf{s} _{j}$ et $\mathbf{s} _{j}=\mathbf{T}^{1/2}_{n}(X_{1j},\ldots,X_{pj})^{T}$, où $(\mathbf{T}^{1/2}_{n})^{2}=\mathbf{T}_{n}$ est une matrice déterministe définie positive. Nous démontrons que, sous le régime asymptotique $n\rightarrow\infty$ et $p/n$ converge vers une constante positive, le théorème central limite pour la statistique $\mathcal{S}$ est différent de celui concernant la statistique $\mathbf{S}$. En outre, nous montrons que cette différence de comportement n’est pas observée pour le comportement moyen des vecteurs propres.