Abstract
Let $\{X_{ij}\}$, $i,j=\cdots$, be a double array of independent and identically distributed (i.i.d.) real random variables with $EX_{11}=\mu$, $E|X_{11}-\mu|^{2}=1$ and $E|X_{11}|^{4}<\infty$. Consider sample covariance matrices (with/without empirical centering) $\mathcal{S}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(\mathbf{s}_{j}-\bar{\mathbf{s}})(\mathbf{s}_{j}-\bar{\mathbf{s}})^{T}$ and $\mathbf{S} =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{s}_{j}\mathbf{s}_{j}^{T}$, where $\bar{\mathbf{s}}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{s}_{j}$ and $\mathbf{s}_{j}=\mathbf{T} _{n}^{1/2}(X_{1j},\ldots,X_{pj})^{T}$ with $(\mathbf{T} _{n}^{1/2})^{2}=\mathbf{T} _{n}$, non-random symmetric non-negative definite matrix. It is proved that central limit theorems of eigenvalue statistics of $\mathcal{S}$ and $\mathbf{S} $ are different as $n\rightarrow\infty$ with $p/n$ approaching a positive constant. Moreover, it is also proved that such a different behavior is not observed in the average behavior of eigenvectors.
Soit $\{X_{ij}\}$, $i,j=1,2,\ldots$, un tableau à double entrées, les $X_{ij}$ étant des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et où $\mathbf{E} X_{11}=\mu$, $\mathbf{E} \vert X_{11}-\mu\vert ^{2}=1$ et $\mathbf{E} |X_{11}|^{4}<\infty$. Considérons les matrices de covariances empiriques suivantes (avec/sans centrage empirique): $\mathcal{S}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}(\mathbf{s} _{j}-\bar{ \mathbf {s}})(\mathbf{s} _{j}-\bar{ \mathbf {s}})^{T}$ et $\mathbf{S}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}\mathbf{s} _{j}\mathbf{s} _{j}^{T}$, avec $\bar{ \mathbf {s}}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}\mathbf{s} _{j}$ et $\mathbf{s} _{j}=\mathbf{T}^{1/2}_{n}(X_{1j},\ldots,X_{pj})^{T}$, où $(\mathbf{T}^{1/2}_{n})^{2}=\mathbf{T}_{n}$ est une matrice déterministe définie positive. Nous démontrons que, sous le régime asymptotique $n\rightarrow\infty$ et $p/n$ converge vers une constante positive, le théorème central limite pour la statistique $\mathcal{S}$ est différent de celui concernant la statistique $\mathbf{S}$. En outre, nous montrons que cette différence de comportement n’est pas observée pour le comportement moyen des vecteurs propres.
Citation
Guangming Pan. "Comparison between two types of large sample covariance matrices." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 50 (2) 655 - 677, May 2014. https://doi.org/10.1214/12-AIHP506
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