The spread of a catalytic branching random walk

Abstract

We consider a catalytic branching random walk on $\mathbb{Z} $ that branches at the origin only. In the supercritical regime we establish a law of large number for the maximal position $M_{n}$: For some constant $\alpha$, $\frac{M_{n}}{n}\to\alpha$ almost surely on the set of infinite number of visits of the origin. Then we determine all possible limiting laws for $M_{n}-\alpha n$ as $n$ goes to infinity.

Nous considérons une marche aléatoire branchant catalytique sur $\mathbb{Z} $ qui ne branche qu’à l’origine. Dans le cas surcritique, nous établissons une loi des grands nombres pour la position maximale $M_{n}$ : Il existe une constante $\alpha$ explicite telle que $\frac{M_{n}}{n}\to\alpha$ presque sûrement sur l’ensemble des trajectoires pour lesquelles l’origine est visitée une infinité de fois.

Ensuite, nous déterminons toutes les lois limites possibles, lorsque $n\to+\infty$, pour la suite $M_{n}-\alpha n$.