Supercritical self-avoiding walks are space-filling

Abstract

In this article, we consider the following model of self-avoiding walk: the probability of a self-avoiding trajectory $\gamma$ between two points on the boundary of a finite subdomain of $\mathbb{Z}^{d}$ is proportional to $\mu^{-\mbox{length}(\gamma)}$. When $\mu$ is supercritical (i.e. $\mu<\mu_{c}$ where $\mu_{c}$ is the connective constant of the lattice), we show that the random trajectory becomes space-filling when taking the scaling limit.

Dans cet article, nous considérons le modèle suivant de marches auto-évitantes : la probabilité d’une trajectoire auto-évitante $\gamma$ entre deux points fixés d’un sous-domaine fini de $\mathbb{Z}^{d}$ est proportionnelle à $\mu^{-\mbox{length}(\gamma)}$. Lorsque le paramètre $\mu$ est supercritique (i.e. $\mu<\mu_{c}$ ou $\mu_{c}$ est la constante de connectivité du réseau), nous prouvons que la trajectoire aléatoire remplit l’espace lorsque l’on considère la limite d’échelle du modèle.