Stochastic differential equations with Sobolev drifts and driven by $\alpha$-stable processes

Abstract

In this article we prove the pathwise uniqueness for stochastic differential equations in $\mathbb{R}^{d}$ with time-dependent Sobolev drifts, and driven by symmetric $\alpha$-stable processes provided that $\alpha\in(1,2)$ and its spectral measure is non-degenerate. In particular, the drift is allowed to have jump discontinuity when $\alpha\in(\frac{2d}{d+1},2)$. Our proof is based on some estimates of Krylov’s type for purely discontinuous semimartingales.

Dans cet article nous prouvons l’existence et l’unicité d’équations différentielles stochastiques dans $\mathbb{R}^{d}$ avec terme de dérive dépendant du temps dans un espace de Sobolev et dirigées par un processus de Lévy $\alpha$-stable symétrique avec $\alpha\in(1,2)$ et de mesure spectrale non-dégénérée.

En particulier, le terme de dérive peut avoir des discontinuités de saut quand $\alpha\in(\frac{2d}{d+1},2)$. Notre preuve est basée sur des estimations de type Krylov pour des semimartingales purement discontinues.