An inequality of Brascamp and Lieb provides a bound on the covariance of two functions with respect to log-concave measures. The bound estimates the covariance by the product of the $L^{2}$ norms of the gradients of the functions, where the magnitude of the gradient is computed using an inner product given by the inverse Hessian matrix of the potential of the log-concave measure. Menz and Otto [Uniform logarithmic Sobolev inequalities for conservative spin systems with super-quadratic single-site potential. (2011) Preprint] proved a variant of this with the two $L^{2}$ norms replaced by $L^{1}$ and $L^{\infty}$ norms, but only for $\mathbb{R}^{1}$. We prove a generalization of both by extending these inequalities to $L^{p}$ and $L^{q}$ norms and on $\mathbb{R}^{n}$, for any $n\geq1$. We also prove an inequality for integrals of divided differences of functions in terms of integrals of their gradients.

Une inégalité de Brascamp et Lieb donne une estimation sur la covariance entre deux fonctions par rapport à une mesure log-concave, qui est bornée par le produit des normes $L^{2}$ des gradients des fonctions, où l’amplitude du gradient est calculée en utilisant un produit scalaire égal à l’inverse de la matrice Hessienne du potentiel de la mesure log-concave. Menz et Otto [Uniform logarithmic Sobolev inequalities for conservative spin systems with super-quadratic single-site potential. (2011) Preprint] ont prouvé une variante de ce résultat où les normes $L^{2}$ sont remplacées par des normes $L^{1}$ et $L^{\infty}$, mais seulement dans $\mathbb{R}^{1}$. Nous prouvons une généralisation de ces deux résultats, avec une extension de ces inégalités à des normes $L^{p}$ et $L^{q}$ dans $\mathbb{R}^{n}$, pour tout $n\geq1$. Nous prouvons aussi une inégalité pour des intégrales de différences divisées de fonctions à l’aide des intégrales de leurs gradients.

We answer some questions raised by Gantert, Löwe and Steif (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 41 (2005) 767–780) concerning “signed” voter models on locally finite graphs. These are voter model like processes with the difference that the edges are considered to be either positive or negative. If an edge between a site $x$ and a site $y$ is negative (respectively positive) the site $y$ will contribute towards the flip rate of $x$ if and only if the two current spin values are equal (respectively opposed).

Nous répondons à des questions soulevées dans le récent papier de Gantert, Löwe et Steif (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 41 (2005) 767–780) concernant les modèles du votant “signés” sur des graphes localement finis. Ce sont des processus de type modèle du votant à la différence que chaque arête est considérée comme étant positive ou bien négative. Si une arête entre un site $x$ et un site $y$ est négative (respectivement positive), le site $y$ contribura au taux de flip de $x$ si et seulement si les deux valeurs actuelles des spins sont égales (respectivement opposées).

Consider a $N\times n$ non-centered matrix $\varSigma_{n}$ with a separable variance profile:

\[\varSigma_{n}=\frac{D_{n}^{1/2}X_{n}\tilde{D}_{n}^{1/2}}{\sqrt{n}}+A_{n}.\]

Matrices $D_{n}$ and $\tilde{D}_{n}$ are non-negative deterministic diagonal, while matrix $A_{n}$ is deterministic, and $X_{n}$ is a random matrix with complex independent and identically distributed random variables, each with mean zero and variance one. Denote by $Q_{n}(z)$ the resolvent associated to $\varSigma_{n}\varSigma_{n}^{*}$, i.e.

\[Q_{n}(z)=\bigl(\varSigma_{n}\varSigma_{n}^{*}-zI_{N}\bigr)^{-1}.\]

Given two sequences of deterministic vectors $(u_{n})$ and $(v_{n})$ with bounded Euclidean norms, we study the limiting behavior of the random bilinear form:

\[u_{n}^{*}Q_{n}(z)v_{n}\quad \forall z\in \mathbb{C} -\mathbb{R} ^{+},\]

as the dimensions of matrix $\varSigma_{n}$ go to infinity at the same pace. Such quantities arise in the study of functionals of $\varSigma_{n}\varSigma_{n}^{*}$ which do not only depend on the eigenvalues of $\varSigma_{n}\varSigma_{n}^{*}$, and are pivotal in the study of problems related to non-centered Gram matrices such as central limit theorems, individual entries of the resolvent, and eigenvalue separation.

Considérons une matrice $\varSigma_{n}$, non centrée, de taille $N\times n$, avec un profil de variance séparable :

\[\varSigma_{n}=\frac{D_{n}^{1/2}X_{n}\tilde{D}_{n}^{1/2}}{\sqrt{n}}+A_{n}.\]

Les matrices $D_{n}$ et $\tilde{D}_{n}$ sont déterministes, diagonales et non négatives ; la matrice $A_{n}$ est déterministe ; la matrice $X_{n}$ est une matrice aléatoire dont les entrées complexes sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de moyenne nulle et de variance unité. On note $Q_{n}(z)$ la résolvante associée à $\varSigma_{n}\varSigma_{n}^{*}$, i.e.

\[Q_{n}(z)=\bigl(\varSigma_{n}\varSigma_{n}^{*}-zI_{N}\bigr)^{-1}.\]

Étant données deux suites déterministes de vecteurs $(u_{n})$ et $(v_{n})$ de norme euclidienne bornée, on étudie le comportement asymptotique de la forme bilinéaire aléatoire :

\[u_{n}^{*}Q_{n}(z)v_{n}\quad \forall z\in \mathbb{C} -\mathbb{R} ^{+},\]

quand les dimensions de la matrice $\varSigma_{n}$ tendent vers l’infini au même rythme. De telles quantités apparaissent dans l’étude de fonctionnelles de $\varSigma_{n}\varSigma_{n}^{*}$ ne dépendant pas uniquement des valeurs propres de $\varSigma_{n}\varSigma_{n}^{*}$, et sont centrales dans l’étude de problèmes relatifs aux matrices de Gram non centrées tels que l’établissement de théorèmes de la limite centrale, le comportement des entrées individuelles et les problèmes de séparation des valeurs propres.

We study the distribution of the outliers in the spectrum of finite rank deformations of Wigner random matrices under the assumption that the absolute values of the off-diagonal matrix entries have uniformly bounded fifth moment and the absolute values of the diagonal entries have uniformly bounded third moment. Using our recent results on the fluctuation of resolvent entries (On fluctuations of matrix entries of regular functions of Wigner matrices with non-identically distributed entries, Unpublished manuscript; Fluctuations of matrix entries of regular functions of Wigner matrices, Unpublished manuscript) and ideas from (Fluctuations of the extreme eigenvalues of finite rank deformations of random matrices, Unpublished manuscript), we extend the results by Capitaine, Donati-Martin, and Féral (Ann. Probab. 37 (2009) 1–47; Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 48 (2012) 107–133).

Nous étudions la distribution des valeurs propres qui sortent de l’amas du spectre de matrices de Wigner deformées par une matrice de rang fini sous l’hypothèse que les valeurs absolues des éléments non diagonaux aient un moment d’ordre cinq uniformément borné et que valeurs absolues des éléments diagonaux aient un moment d’ordre trois uniformément borné. En utilisant des travaux récents (On fluctuations of matrix entries of regular functions of Wigner matrices with non-identically distributed entries, Unpublished manuscript; Fluctuations of matrix entries of regular functions of Wigner matrices, Unpublished manuscript) et des idées de (Fluctuations of the extreme eigenvalues of finite rank deformations of random matrices, Unpublished manuscript), nous étendons les résultats de Capitaine, Donati-Martin et Féral (Ann. Probab. 37 (2009) 1–47; Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 48 (2012) 107–133).

Equivalence of the spectral gap, exponential integrability of hitting times and Lyapunov conditions is well known. We give here the correspondence (with quantitative results) for reversible diffusion processes. As a consequence, we generalize results of Bobkov in the one dimensional case on the value of the Poincaré constant for log-concave measures to superlinear potentials. Finally, we study various functional inequalities under different hitting times integrability conditions (polynomial,…). In particular, in the one dimensional case, ultracontractivity is equivalent to a bounded Lyapunov condition.

L’équivalence entre le trou spectral, l’intégrabilité exponentielle des temps de retour et des conditions de Lyapunov est bien connue pour les chaînes de Markov. Nous donnons ici cette même équivalence (quantitative) pour des diffusions réversibles. Une des conséquences est la généralisation de résultats de Bobkov dans le cas unidimensionnel sur la valeur de la constante de l’inégalité de Poincaré des mesures log-concaves à des potentiels super linéaires. En conclusion, nous étudions diverses inégalités fonctionnelles sous diffŕentes conditions d’intégrabilité des temps de retour (polynomiale,…). En particulier, en dimension 1, nous montrons l’équivalence entre ultracontractivité et condition de Lyapunov bornée.

In this paper, we study optimal transportation problems for multifractal random measures. Since these measures are much less regular than optimal transportation theory requires, we introduce a new notion of transportation which is intuitively some kind of multistep transportation. Applications are given for construction of multifractal random changes of times and to the existence of random metrics, the volume forms of which coincide with the multifractal random measures.

Dans ce papier, nous étudions des problèmes de transport optimal pour des mesures aléatoires multifractales. Puisque ces mesures sont beaucoup moins régulières que ce que la théorie requiert habituellement, nous introduisons une nouvelle notion de transport qui peut être vue intuitivement comme du transport à étapes multiples. En application, nous construisons des changements de temps multifractals et nous établissons l’existence de métriques aléatoires pour lesquelles les formes volume sont des mesures aléatoires multifractales.

We study a one-dimensional stochastic differential equation driven by a stable Lévy process of order $\alpha$ with drift and diffusion coefficients $b$, $\sigma$. When $\alpha\in(1,2)$, we investigate pathwise uniqueness for this equation. When $\alpha\in(0,1)$, we study another stochastic differential equation, which is equivalent in law, but for which pathwise uniqueness holds under much weaker conditions. We obtain various results, depending on whether $\alpha\in(0,1)$ or $\alpha\in(1,2)$ and on whether the driving stable process is symmetric or not. Our assumptions involve the regularity and monotonicity of $b$ and $\sigma$.

Nous étudions une équation différentielle stochastique de dimension $1$ dirigée par un processus de Lévy stable. Lorsque $\alpha\in(1,2)$, nous examinons l’unicité trajectorielle pour cette équation. Quand $\alpha\in(0,1)$, nous étudions une autre équation, équivalente en loi, mais pour laquelle l’unicité trajectorielle s’avère vraie sous des hypothèses bien plus faibles. Nous obtenons des résultats variés, selon que $\alpha\in(0,1)$ ou $\alpha\in(1,2)$ et selon que le processus stable dirigeant l’équation est symétrique ou non. Nos hypothèses concernent la régularité et la monotonie des coefficients de dérive et de diffusion.

We establish a Large Deviations Principle for diffusions with Lipschitz continuous oblique reflections on regular domains. The rate functional is given as the value function of a control problem and is proved to be good. The proof is based on a viscosity solution approach. The idea consists in interpreting the probabilities as the solutions to some PDEs, make the logarithmic transform, pass to the limit, and then identify the action functional as the solution of the limiting equation.

Nous établissons un principe de Grandes Déviations pour des diffusions réfléchies obliquement sur le bord d’un domaine régulier lorsque la direction de la réflection est Lipschitz. La fonction de taux s’exprime comme la fonction valeur d’un problème d’arrêt optimal et est compacte. Nous utilisons des techniques de solutions de viscosité. Les probabilités recherchées sont interprétées comme des solutions de certaines EDPs, leur transformées logarithmiques donnent lieu à de nouvelles équations dans lesquelles il est aisé de passer à la limites. Enfin les fonctionnelles d’action sont identifiées comme étant les solutions des dites équations limite.

Let us consider a solution of a one-dimensional stochastic differential equation driven by a standard Brownian motion with time-inhomogeneous drift coefficient $\rho\operatorname{sgn}(x)|x|^{\alpha}/t^{\beta}$. This process can be viewed as a Brownian motion evolving in a potential, possibly singular, depending on time. We prove results on the existence and uniqueness of solution, study its asymptotic behaviour and made a precise description, in terms of parameters $\rho$, $\alpha$ and $\beta$, of the recurrence, transience and convergence. More precisely, asymptotic distributions, iterated logarithm type laws and rates of transience and explosion are proved for such processes.

Nous considérons la solution d’une équation différentielle stochastique, dirigée par un mouvement brownien linéaire standard, dont le terme de dérive varie avec le temps $\rho\operatorname{sgn}(x)|x|^{\alpha}/t^{\beta}$. Ce processus peut être vu comme un mouvement brownien évoluant dans un potentiel dépendant du temps, éventuellement singulier. Nous montrons des résultats d’existence et d’unicité et nous étudions le comportement asymptotique de la solution. Les propriétés de récurrence ou de transience de cette diffusion sont décrites en fonction des paramètres $\rho$, $\alpha$ et $\beta$, et nous donnons les vitesses de transience et d’explosion. Des résultats de convergence en loi et des lois de type logarithme itéré sont également obtenus.

This paper is concerned with the small time behaviour of a Lévy process $X$. In particular, we investigate the stabilities of the times, $\overline{T} _{b}(r)$ and $T^{*}_{b}(r)$, at which $X$, started with $X_{0}=0$, first leaves the space-time regions $\{(t,y)\in \mathbb{R} ^{2}\colon\ y\le rt^{b},t\ge0\}$ (one-sided exit), or $\{(t,y)\in \mathbb{R} ^{2}\colon\ |y|\le rt^{b},t\ge0\}$ (two-sided exit), $0\le b<1$, as $r\downarrow 0$. Thus essentially we determine whether or not these passage times behave like deterministic functions in the sense of different modes of convergence; specifically convergence in probability, almost surely and in $L^{p}$. In many instances these are seen to be equivalent to relative stability of the process $X$ itself. The analogous large time problem is also discussed.

Ce papier traite du comportement en temps court d’un processus de Lévy $X$. En particulier, nous étudions la stabilité des temps $\overline{T} _{b}(r)$ et $T^{*}_{b}(r)$ auxquels $X$, partant de $X_{0}=0$, quitte pour la première fois les domaines $\{(t,y)\in \mathbb{R} ^{2}\colon\ y\le rt^{b},t\ge0\}$ (sortie unilatérale), ou $\{(t,y)\in \mathbb{R} ^{2}\colon\ |y|\le rt^{b},t\ge0\}$ (sortie bilatérale), $0\le b<1$, quand $r\downarrow 0$. Nous déterminons si ces temps de passage se comportent ou non comme des fonctions déterministes selon différents modes de convergence : en probabilité, presque sûrement et dans $L^{p}$. Dans de nombreux cas, ceci est équivalent à la stabilité du processus $X$. Le problème analogue à temps grand est aussi discuté.

We consider the one-sided exit problem – also called one-sided barrier problem – for ($\alpha$-fractionally) integrated random walks and Lévy processes.

Our main result is that there exists a positive, non-increasing function $\alpha\mapsto\theta(\alpha)$ such that the probability that any $\alpha$-fractionally integrated centered Lévy processes (or random walk) with some finite exponential moment stays below a fixed level until time $T$ behaves as $T^{-\theta(\alpha)+\mathrm{o}(1)}$ for large $T$. We also investigate when the fixed level can be replaced by a different barrier satisfying certain growth conditions (moving boundary).

This, in particular, extends Sinai’s result on the survival exponent $\theta(1)=1/4$ for the integrated simple random walk to general random walks with some finite exponential moment.

Nous considérons le problème unilatéral de sortie – ou problème unilatéral de barrière – pour des intégrales ($\alpha$-fractionnelles) de marches aléatoires et de processus de Lévy.

Notre résultat principal est l’existence d’une fonction positive, décroissante $\alpha\mapsto\theta(\alpha)$ telle que la probabilité qu’une intégrale d’un processus de Lévy $\alpha$-fractionnel quelconque (ou marche aléatoire) avec certains moments exponentiels finis reste en dessous d’un niveau fixe jusqu’à un temps $T$ se comporte comme $T^{-\theta(\alpha)+\mathrm{o}(1)}$ pour $T$ grand. Nous analysons aussi la possibilité de remplacer le niveau fixe par une barrière différente qui satisfait certaines conditions de croissance (marge mouvante).

Cela, en particulier, étend le résultat de Sinai sur l’exposant de survie d’une marche aléatoire simple intégrée à des marches aléatoires générales de moment exponentiel fini.

Our purpose is to investigate properties for processes with stationary and independent increments under $G$-expectation. As applications, we prove the martingale characterization of $G$-Brownian motion and present a pathwise decomposition theorem for generalized $G$-Brownian motion.

Notre but est d’étudier des propriétés de processus à accroissements stationnaires et indépendants sous une $G$-espérance. Comme application, nous démontrons la caractérisation de la martingale de $G$-mouvement Brownien et fournissons un théorème de décomposition trajectorielle pour le $G$-mouvement Brownien généralisé.

We use subgroup distortion to determine the rate of escape of a simple random walk on a class of polycyclic groups, and we show that the rate of escape is invariant under changes of generating set for these groups. For metabelian groups, we define a stronger form of subgroup distortion which applies to non-finitely generated subgroups. Under this hypothesis, we compute the rate of escape for certain random walks on some abelian-by-cyclic groups via a comparison to the toppling of a dissipative abelian sandpile.

Nous utilisons la notion de distorsion des sous-groupes afin de déterminer la vitesse de fuite (sous linéaire) d’une marche aléatoire simple sur une classe de groupes polycycliques, et nous montrons que cette vitesse est invariante par changement de générateurs pour ces groupes. Pour les groupes métabéliens, nous définissons une forme plus forte de distorsion des sous-groupes qui s’applique à des sous-groupes non finiment engendrés. Sous cette hypothèse, nous calculons la vitesse de fuite pour certaines marches aléatoires sur certains groupes abélien par cyclique via l’intermédiaire d’une comparaison avec la chute d’un tas de sable abélien dissipatif.

We study the performance of empirical risk minimization (ERM), with respect to the quadratic risk, in the context of convex aggregation, in which one wants to construct a procedure whose risk is as close as possible to the best function in the convex hull of an arbitrary finite class $F$. We show that ERM performed in the convex hull of $F$ is an optimal aggregation procedure for the convex aggregation problem. We also show that if this procedure is used for the problem of model selection aggregation, in which one wants to mimic the performance of the best function in $F$ itself, then its rate is the same as the one achieved for the convex aggregation problem, and thus is far from optimal. These results are obtained in deviation and are sharp up to logarithmic factors.

Nous étudions les performances de la procédure de minimisation du risque empirique, par rapport au risque quadratique, pour le problème d’agrégation convexe. Dans ce problème, on souhaite construire des procédures dont le risque est aussi proche que possible du risque du meilleur élément dans l’enveloppe convexe d’une classe finie $F$ de fonctions. Nous prouvons que la procédure obtenue par minimisation du risque empirique sur la coque convexe de $F$ est une procédure optimale pour le problème d’aggrégation convexe. Nous prouvons aussi que si cette procédure est utilisée pour le problème d’agrégation en sélection de modèle, pour lequel on souhaite imiter le meilleur dans $F$, alors le résidu d’agrégation est le même que celui obtenue pour le problème d’agrégation convexe. Cette procédure est donc loin d’être optimale pour le problème d’agrégation en sélection de modèle. Ces résultats sont obtenus en déviation et sont optimaux à des facteurs logarithmiques prés.