Coexistence probability in the last passage percolation model is $6-8\log2$

Abstract

A competition model on $\mathbb{N}^{2}$ between three clusters and governed by directed last passage percolation is considered. We prove that coexistence, i.e. the three clusters are simultaneously unbounded, occurs with probability $6-8\log2$. When this happens, we also prove that the central cluster almost surely has a positive density on $\mathbb{N}^{2}$. Our results rely on three couplings, allowing to link the competition interfaces (which represent the borderlines between the clusters) to some particles in the multi-TASEP, and on recent results about collision in the multi-TASEP.

On étudie un modèle de compétition sur $\mathbb{N}^{2}$ entre trois clusters et gouverné par la percolation dirigée de dernier passage. On montre que la coexistence, c’est à dire que les trois clusters sont infinis simultanément, a lieu avec probabilité $6-8\log2$. Dans ce cas, le cluster central admet une densité positive sur $\mathbb{N}^{2}$. Nos résultats reposent sur trois couplages qui permettent de relier les interfaces de compétitions (qui représentent les frontières entres les clusters) à certaines particules du multi-TASEP, ainsi qu’à des résultats récents sur la collision dans le multi-TASEP.