We analyze a jump processes $Z$ with a jump measure determined by a “memory” process $S$. The state space of $(Z,S)$ is the Cartesian product of the unit circle and the real line. We prove that the stationary distribution of $(Z,S)$ is the product of the uniform probability measure and a Gaussian distribution.

Nous proposons d’étudier un processus à sauts $Z$ avec une mesure de sauts déterminée par un processus $S$ représentant une “mémoire”. L’espace d’états de $(Z,S)$ est le produit Cartesien du cercle trigonométrique et de l’axe réel. Nous démontrons que la distribution stationnaire de $(Z,S)$ est la mesure produit d’une loi uniforme et d’une loi Gaussienne.

A method known as renormalization is proposed for constructing some more physically realistic random potentials in a Poisson cloud. The Brownian motion in the renormalized random potential and related parabolic Anderson models are modeled. With the renormalization, for example, the models consistent to Newton’s law of universal attraction can be rigorously constructed.

Nous présentons une méthode de renormalisation pour construire certains modèles de potentiels aléatoires dans un nuage Poissonnien qui sont physiquement plus réalistes. Nous obtenons le mouvement brownien dans un potentiel aléatoire renormalisé et les modèles d’Anderson paraboliques associés. Par exemple, avec cette renormalisation, nous pouvons construire rigoureusement des modèles consistants avec la loi de la gravitation de Newton.

We offer a probabilistic treatment of the classical problem of existence, uniqueness and asymptotics of monotone solutions to the travelling wave equation associated to the parabolic semi-group equation of a super-Brownian motion with a general branching mechanism. Whilst we are strongly guided by the reasoning in Kyprianou (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 40 (2004) 53–72) for branching Brownian motion, the current paper offers a number of new insights. Our analysis incorporates the role of Seneta–Heyde norming which, in the current setting, draws on classical work of Grey (J. Appl. Probab. 11 (1974) 669–677). We give a pathwise explanation of Evans’ immortal particle picture (the spine decomposition) which uses the Dynkin–Kuznetsov $\mathbb{N}$-measure as a key ingredient. Moreover, in the spirit of Neveu’s stopping lines we make repeated use of Dynkin’s exit measures. Additional complications arise from the general nature of the branching mechanism. As a consequence of the analysis we also offer an exact $X(\log X)^{2}$ moment dichotomy for the almost sure convergence of the so-called derivative martingale at its critical parameter to a non-trivial limit. This differs to the case of branching Brownian motion (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 40 (2004) 53–72), and branching random walk (Adv. in Appl. Probab. 36 (2004) 544–581), where a moment ‘gap’ appears in the necessary and sufficient conditions. Our probabilistic treatment allows us to replicate known existence, uniqueness and asymptotic results for the travelling wave equation, which is related to a super-Brownian motion.

Nous proposons une approche probabiliste au problème classique de l’existence, de l’unicité et du comportement asymptotique des solutions monotones de l’équation de propagation de front associée à l’équation parabolique du super-mouvement brownien de mécanisme de branchement général. Bien que largement inspiré par l’approche de Kyprianou (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 40 (2004) 53–72) pour le mouvement brownien branchant, cet article ouvre plusieurs perspectives nouvelles. Notre analyse inclut le rôle de la normalisation de Seneta–Heyde qui, dans cette situation, s’inspire du travail classique de Grey (J. Appl. Probab. 11 (1974) 669–677). Nous donnons une explication trajectorielle de la décomposition en épine (la particule immortelle d’Evans), en utilisant la $\mathbb{N}$-mesure de Dynkin–Kuznetsov comme ingrédient clef. En outre, dans l’esprit des lignes d’arrêt de Neveu nous utilisons à plusieurs reprises les mesures de sortie de Dynkin. La nature générale du mécanisme de branchement rend l’analyse du problème plus délicate et nous proposons une dichotomie exacte basée sur un moment $X(\log X)^{2}$ pour la convergence presque-sûre de la martingale dérivée (pour la valeur critique de son paramètre) vers une limite non-triviale. Ceci diffère du cas du mouvement brownien branchant (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 40 (2004) 53–72) et de la marche aléatoire branchante (Adv. in Appl. Probab. 36 (2004) 544–581), où un écart dans les hypothèses sur les moments apparaît entre les conditions nécessaires et suffisantes. Notre approche probabiliste permet de retrouver des résultats connus d’existence, d’unicité et de comportement asymptotique pour l’équation de propagation de front reliée au super-mouvement brownien.

We present a new pruning procedure on discrete trees by adding marks on the nodes of trees. This procedure allows us to construct and study a tree-valued Markov process $\{\mathcal{G}(u)\}$ by pruning Galton–Watson trees and an analogous process $\{\mathcal{G}^{*}(u)\}$ by pruning a critical or subcritical Galton–Watson tree conditioned to be infinite. Under a mild condition on offspring distributions, we show that the process $\{\mathcal{G}(u)\}$ run until its ascension time has a representation in terms of $\{\mathcal{G}^{*}(u)\}$. A similar result was obtained by Aldous and Pitman (Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 34 (1998) 637–686) in the special case of Poisson offspring distributions where they considered uniform pruning of Galton–Watson trees by adding marks on the edges of trees.

Nous présentons une nouvelle procédure d’élagage d’arbres discrets en ajoutant des marques sur les noeuds de l’arbre. Cette procédure nous permet de définir un processus de Markov $\{\mathcal{G}(u)\}$ à valeurs arbres en élaguant un arbre de Galton–Watson. Nous définissons également de manière analogue un processus $\{\mathcal{G}^{*}(u)\}$ en élaguant un arbre de Galton–Watson critique ou sous-critique conditionné à être infini. Sous de faibles hypothèses sur la loi de reproduction, nous montrons que le processus $\{\mathcal{G}(u)\}$ arrêté en son temps d’ascension admet une représentation en terme du processus $\{\mathcal{G}^{*}(u)\}$. Un résultat similaire a été obtenu par Aldous et Pitman (Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 34 (1998) 637–686) dans le cas particulier de lois de reproductions poissoniennes en considérant un élagage uniforme sur les branches de l’arbre.

This article considers a model of genealogy corresponding to a regular exchangeable coalescent (also known as $\varXi$-coalescent) started from a large finite configuration, and undergoing neutral mutations. Asymptotic expressions for the number of active lineages were obtained by the author in a previous work. Analogous results for the number of active mutation-free lineages and the combined lineage lengths are derived using the same martingale-based technique. They are given in terms of convergence in probability, while extensions to convergence in moments and convergence almost surely are discussed. The above mentioned results have direct consequences on the sampling theory in the $\varXi$-coalescent setting. In particular, the regular $\varXi$-coalescents that come down from infinity (i.e., with locally finite genealogies) have an asymptotically equal number of families under the corresponding infinite alleles and infinite sites models. In special cases, quantitative asymptotic formulae for the number of families that contain a fixed number of individuals can be given.

Cet article considère un modèle de généalogie qui correspond à un processus de coalescence échangeable régulier (appelé aussi un $\varXi$-coalescent) démarré d’une configuration à taille finie et grande, et subissant des mutations neutres. Des expressions asymptotiques pour le nombre de lignées actives ont été obtenues par l’auteur dans un travail précédent. Des résultats analogues pour le nombre de lignées actives et la longueur totale des lignées sont dérivés par les mêmes techniques martingales. Ils sont donnés en terme de la convergence en probabilité, pendant que des extensions à la convergence au sens des moments et la convergence presque sûre sont examinées. Ces résultats ont des conséquences directes sur la théorie d’échantillonnage dans le cadre de $\varXi$-coalescence. En particulier, les $\varXi$-coalescents réguliers qui descendent de l’infini (c.-à-d. qui ont des généalogies localement finies) ont des nombres de familles égaux au sens asymptotique sous le modèle d’allèles infinies et le modèle de site infinis. Dans des cas particuliers, on peut ainsi dériver des formules asymptotiques quantitatives pour le nombre de familles contenant un nombre fixe d’individus.

We consider a random walk in a stationary ergodic environment in $\mathbb{Z}$, with unbounded jumps. In addition to uniform ellipticity and a bound on the tails of the possible jumps, we assume a condition of strong transience to the right which implies that there are no “traps.” We prove the law of large numbers with positive speed, as well as the ergodicity of the environment seen from the particle. Then, we consider Knudsen stochastic billiard with a drift in a random tube in $\mathbb{R}^{d}$, $d\geq3$, which serves as environment. The tube is infinite in the first direction, and is a stationary and ergodic process indexed by the first coordinate. A particle is moving in straight line inside the tube, and has random bounces upon hitting the boundary, according to the following modification of the cosine reflection law: the jumps in the positive direction are always accepted while the jumps in the negative direction may be rejected. Using the results for the random walk in random environment together with an appropriate coupling, we deduce the law of large numbers for the stochastic billiard with a drift.

Nous considérons une marche aléatoire dans un milieu stationnaire ergodique sur $\mathbb{Z}$, avec des sauts non bornés. En plus de l’uniforme ellipticité et d’une borne uniforme sur la queue de la loi des sauts, nous supposons une condition de transience forte qui garantit l’absence de “pièges.” Nous montrons la loi des grands nombres avec vitesse strictement positive, ainsi que l’ergodicité de l’environnement vu de la particule. Par ailleurs, nous étudions aussi le billard stochastique de Knudsen avec dérive dans un tube aléatoire dans $\mathbb{R}^{d}$, $d\geq3$, qui constitue l’environnement. Le tube est infini dans la première direction, et, vu comme un processus indéxé par la première coordonnée, il est supposé stationnaire ergodique. Une particule se déplace en ligne droite à l’intérieur du tube, avec des rebonds aléatoires sur le bord, selon la modification suivante de la loi de reflexion en cosinus: les sauts dans la direction positive sont toujours acceptés, tandis que ceux dans l’autre direction peuvent être rejetés. En utilisant les résultats pour la marche aléatoire en milieu aléatoire et un couplage approprié, nous obtenons la loi des grands nombres pour le billard stochastique avec dérive.

We study excited random walks in i.i.d. random cookie environments in high dimensions, where the $k$th cookie at a site determines the transition probabilities (to the left and right) for the $k$th departure from that site. We show that in high dimensions, when the expected right drift of the first cookie is sufficiently large, the velocity is strictly positive, regardless of the strengths and signs of subsequent cookies. Under additional conditions on the cookie environment, we show that the limiting velocity of the random walk is continuous in various parameters of the model and is monotone in the expected strength of the first cookie at the origin. We also give non-trivial examples where the first cookie drift is in the opposite direction to all subsequent cookie drifts and the velocity is zero. The proofs are based on a cut-times result of Bolthausen, Sznitman and Zeitouni, the lace expansion for self-interacting random walks of van der Hofstad and Holmes, and a coupling argument.

Nous étudions des marches aléatoires excitées dans un environnement de cookies indépendants en grande dimension, où le $k$ième cookie d’un site détermine le taux de transition (vers la droite ou la gauche) pour le $k$ième départ de ce site. Nous montrons qu’en grande dimension, quand le taux de saut moyen vers la droite du premier cookie est suffisamment grand, la vitesse est strictement positive, quelque soit l’amplitude et le signe des cookies suivants. Sous des conditions supplémentaires sur l’environnement des cookies, nous montrons que la vitesse est une fonction continue des divers paramètres du modèle et est monotone en la force moyenne du cookie à l’origine. Nous donnons aussi des examples non-triviaux où la dérive du premier cookie est dans le sens opposé à toutes les autres et où la vitesse est nulle. Les preuves se basent sur un résultat de temps de coupure de Bolthausen, Sznitman et Zeitouni, le développement en lacets de marches aléatoires auto-interagissantes de van der Hofstad et Holmes, et un argument de couplage.

In this paper we study homogeneous Gibbs measures on a Cayley tree, subjected to an infinite-temperature Glauber evolution, and consider their (non-)Gibbsian properties. We show that the intermediate Gibbs state (which in zero field is the free-boundary-condition Gibbs state) behaves differently from the plus and the minus state. E.g. at large times, all configurations are bad for the intermediate state, whereas the plus configuration never is bad for the plus state. Moreover, we show that for each state there are two transitions. For the intermediate state there is a transition from a Gibbsian regime to a non-Gibbsian regime where some, but not all configurations are bad, and a second one to a regime where all configurations are bad.

For the plus and minus state, the two transitions are from a Gibbsian regime to a non-Gibbsian one and then back to a Gibbsian regime again.

Dans cet article, nous étudions les mesures homogènes de Gibbs sur un arbre de Cayley soumises à une évolution de Glauber à une température infinie, et nous considérons leurs propriétés dites « non Gibbsiennes ». Nous montrons que l’ état de Gibbs intermédiaire (c’est à dire pour un champ magnétique nul l’état de Gibbs correspondant à la condition au bord libre) se comporte différemment des états de Gibbs « plus » et « moins ». Par exemple, lorsque le temps est assez grand, toutes les configurations sont mauvaises pour l’état intermédiaire, tandis que la configuration « plus » n’est jamais mauvaise pour l’état « plus ». De plus nous montrons que, pour chaque état, il y a deux transitions. Pour l’état intermédiaire il y a une première transition d’un régime Gibbsien à un régime non-Gibbsien, où certaines configurations mais pas toutes sont mauvaises. Après cette première transition, il y en a une seconde dans laquelle l’état intermédiaire passe à un régime où toutes les configurations sont mauvaises.

Pour les états « plus » et « moins », il y a également deux transitions : une première d’un régime Gibbsien à un régime non-Gibbsien, et une deuxième d’un régime non-Gibbsien à un régime Gibbsien.

We consider an energy conserving linear dynamics that we perturb by a Glauber dynamics with random site dependent intensity. We prove hydrodynamic limits for this non-reversible system in random media. The diffusion coefficient turns out to depend on the random field only by its statistics. The diffusion coefficient defined through the Green–Kubo formula is also studied and its convergence to some homogenized diffusion coefficient is proved.

On considère un système d’équations differentielles linéaires couplées conservant une certaine énergie et l’on perturbe ce système par une dynamique de type Glauber dont l’intensité varie aléatoirement site par site. Nous prouvons les limites hydrodyanmiques pour ce système non réversible en milieu aléatoire. Le coefficient de diffusion dépend de l’aléa uniquement par sa loi. Nous étudions aussi le coefficient de diffusion défini par la formule de Green–Kubo et montrons la convergence de celle-ci vers un coefficient de diffusion homogénéisé.

We consider a gradient interface model on the lattice with interaction potential which is a non-convex perturbation of a convex potential. Using a technique which decouples the neighboring vertices into even and odd vertices, we show for a class of non-convex potentials: the uniqueness of ergodic component for $\nabla\phi$-Gibbs measures, the decay of covariances, the scaling limit and the strict convexity of the surface tension.

Nous considérons un modèle d’interfaces de type gradient indexé par le réseau avec une interaction donnée par la pertubation non convexe d’un potentiel convexe. En utilisant une technique qui découple les sites pairs et impairs, nous démontrons pour une classe de potentiels non convexes l’unicité de la composante ergodique, de la mesure de Gibbs du gradient, la décroissance des covariances, la loi limite centrale et la stricte convexité de la tension superficielle.

We introduce the analogue of Dunkl processes in the case of an affine root system of type $\widetilde{\operatorname{A}}_{1}$. The construction of the affine Dunkl process is achieved by a skew-product decomposition by means of its radial part and a jump process on the affine Weyl group, where the radial part of the affine Dunkl process is given by a Gaussian process on the ultraspherical hypergroup $[0,1]$. We prove that the affine Dunkl process is a càdlàg Markov process as well as a local martingale, study its jumps, and give a martingale decomposition, which are properties similar to those of the classical Dunkl process.

Nous introduisons l’analogue des processus de Dunkl dans le cas d’un système de racines affines de type $\widetilde{\operatorname{A}}_{1}$. La construction du processus de Dunkl affine est obtenue par une décomposition en skew-product de sa partie radiale et d’un processus de sauts sur le groupe de Weyl affine, la partie radiale du processus de Dunkl affine étant définie par un processus gaussien sur l’hypergroupe ultrasphérique $[0,1]$. Nous montrons que le processus de Dunkl affine est un processus de Markov càdlàg ainsi qu’une martingale locale, étudions ses sauts, et donnons sa décomposition en martingale, propriétés analogues à celles du processus de Dunkl classique.

We present a general method which allows to use Malliavin Calculus for additive functionals of stochastic equations with irregular drift. This method uses the Girsanov theorem combined with Itô–Taylor expansion in order to obtain regularity properties for this density. We apply the methodology to the case of the Lebesgue integral of a diffusion with bounded and measurable drift.

On introduit une méthode générale qui permet l’utilisation du Calcul de Malliavin pour des fonctionnelles additives générées par des équations stochastiques avec une dérive irrégulière. Cette méthode utilise le théorème de Girsanov avec l’expansion d’Itô–Taylor pour obtenir la régularité de la densité. On applique cette méthodologie pour au cas de l’intégrale en temps d’une diffusion avec derive mesurable bornée.

In order to calibrate a penalization procedure for model selection, the statistician has to choose a shape for the penalty and a leading constant. In this paper, we study, for the marginal density estimation problem, the resampling penalties as general estimators of the shape of an ideal penalty. We prove that the selected estimator satisfies sharp oracle inequalities without remainder terms under a few assumptions on the marginal density $s$ and the collection of models. We also study the slope heuristic, which yields a data-driven choice of the leading constant in front of the penalty when the complexity of the models is well-chosen.

Une procédure de pénalisation en sélection de modèle repose sur la construction d’une forme pour la pénalité ainsi que sur le choix d’une constante de calibration. Dans cet article, nous étudions, pour le problème d’estimation de la densité, les pénalités obtenues par rééchantillonnage de pénalités idéales. Nous montrons l’efficacité de ces procédures pour l’estimation de la forme des pénalités en prouvant, pour les estimateurs sélectionnés, des inégalités d’oracle fines sans termes résiduelles; les résultats sont valides sous des hypothèses faibles à la fois sur la densité inconnue $s$ et sur les collections de modèles. Ces pénalités sont de plus faciles à calibrer puisque la constante asymptotiquement optimale peut être calculée en fonction des poids de rééchantillonnage. En pratique, le nombre de données est toujours fini, nous étudions donc également l’heuristique de pente et justifions l’algorithme de pente qui permet de calibrer la constante de calibration à partir des données.