On the invariant measure of the random difference equation Xn = AnXn−1 + Bn in the critical case

Abstract

We consider the autoregressive model on ℝ^d defined by the stochastic recursion X_n = A_nX_n−1 + B_n, where {(B_n, A_n)} are i.i.d. random variables valued in ℝ^d × ℝ⁺. The critical case, when $\mathbb{E}[\log A_{1}]=0$, was studied by Babillot, Bougerol and Elie, who proved that there exists a unique invariant Radon measure ν for the Markov chain {X_n}. In the present paper we prove that the weak limit of properly dilated measure ν exists and defines a homogeneous measure on ℝ^d ∖ {0}.

Nous considérons le modèle autorégressif sur ℝ^d défini par récurrence par l’équation stochastique X_n = A_nX_n−1 + B_n, où {(B_n, A_n)} sont des variables aléatoires à valeurs dans ℝ^d × ℝ⁺, indépendantes et de même loi. Le cas critique, c’est-à-dire lorsque $\mathbb{E}[\logA_{1}]=0$, a été étudié par Babillot, Bougerol et Elie, qui ont montré qu’il existe une et une seule mesure de Radon ν invariante pour la chaîne de Markov {X_n}. Dans ce papier nous démontrons que la mesure ν, convenablement dilatée, converge faiblement vers une mesure homogène sur ℝ^d ∖ {0}.