We study the trajectory of a simple random walk on a d-regular graph with d ≥ 3 and locally tree-like structure as the number n of vertices grows. Examples of such graphs include random d-regular graphs and large girth expanders. For these graphs, we investigate percolative properties of the set of vertices not visited by the walk until time un, where u > 0 is a fixed positive parameter. We show that this so-called vacant set exhibits a phase transition in u in the following sense: there exists an explicitly computable threshold u_⋆ ∈ (0, ∞) such that, with high probability as n grows, if u < u_⋆, then the largest component of the vacant set has a volume of order n, and if u > u_⋆, then it has a volume of order logn. The critical value u_⋆ coincides with the critical intensity of a random interlacement process on a d-regular tree. We also show that the random interlacements model describes the structure of the vacant set in local neighbourhoods.

Nous étudions la trajectoire d’une marche aléatoire simple sur un graphe d-régulier avec d ≥ 3 dont la structure ressemble localement à un arbre, quand le nombre de sommets n du graphe croît. Des exemples de tels graphes comprennent des graphes aléatoires d-réguliers et des ‘expanseur de grande maille’. Pour ces graphes, nous étudions les propriétés de percolation de l’ensemble des sommets non visités par la marche jusqu’au moment un, où u > 0 est un paramètre positif fixé. Nous montrons que cet ensemble vacant subit une transition de phase en u dans le sens suivant : il existe un seuil u_⋆ ∈ (0, ∞) explicitement calculable tel que, avec une forte probabilité quand n croît, si u < u_⋆, la plus grande composante de l’ensemble vacant a un volume d’ordre n, et si u > u_⋆, elle a un volume d’ordre logn. La valeur critique u_⋆ coïncide avec l’intensité critique des entrelacs aléatoires sur un arbre d-régulier. Nous montrons aussi que les entrelacs aléatoires décrivent bien la structure de l’ensemble vacant dans des voisinages locaux.

The parabolic Anderson model is the Cauchy problem for the heat equation with a random potential. We consider this model in a setting which is continuous in time and discrete in space, and focus on time-constant, independent and identically distributed potentials with polynomial tails at infinity. We are concerned with the long-term temporal dynamics of this system. Our main result is that the periods, in which the profile of the solutions remains nearly constant, are increasing linearly over time, a phenomenon known as ageing. We describe this phenomenon in the weak sense, by looking at the asymptotic probability of a change in a given time window, and in the strong sense, by identifying the almost sure upper envelope for the process of the time remaining until the next change of profile. We also prove functional scaling limit theorems for profile and growth rate of the solution of the parabolic Anderson model.

Le modèle parabolique d’Anderson est le problème de Cauchy pour l’équation de la chaleur avec un potentiel aléatoire. Nous considérons ce modèle en temps continu et espace discret. Nous nous intéressons à des potentiels constants dans le temps, indépendants et identiquement distribués avec queues polynomiales à l’infini. Nous étudions les dynamiques temporelles à temps long de ce système. Notre résultat principal est que les périodes durant lesquelles le profil des solutions reste presque constant, croissent linéairement au cours du temps, un phénomène connu sous le nom de vieillissement. Nous décrivons ce phénomène au sens faible, en étudiant la probabilité asymptotique d’un changement dans un intervalle de temps donné, ainsi qu’au sens fort, en identifiant l’enveloppe supérieure presque sûre pour le processus du temps restant jusqu’au prochain changement du profil. Finalement nous démontrons des théorèmes de limite d’échelle fonctionnelle pour le profil et le taux de croissance de la solution du modèle parabolique d’Anderson.

We consider a family of random walks killed at the boundary of the Weyl chamber of the dual of Sp(4), which in addition satisfies the following property: for any n ≥ 3, there is in this family a walk associated with a reflection group of order 2n. Moreover, the case n = 4 corresponds to a process which appears naturally by studying quantum random walks on the dual of Sp(4). For all the processes belonging to this family, we find the exact asymptotic of the Green functions along all infinite paths of states as well as that of the absorption probabilities along the boundaries.

Dans cet article, nous considérons une famille de marches aléatoires tuées au bord de la chambre de Weyl du dual de Sp(4), qui vérifie en outre la propriété suivante : pour tout n ≥ 3, il y a, dans cette famille, une marche ayant un groupe de réflexions d’ordre 2n. De plus, le cas n = 4 correspond à un processus bien connu apparaissant lors de l’étude des marches aléatoires quantiques sur le dual de Sp(4). Pour tous les processus de cette famille, nous trouvons l’asymptotique exacte des fonctions de Green selon toutes les trajectoires, ainsi que l’asymptotique des probabilités d’absorption sur le bord.

Consider Glauber dynamics for the Ising model on a graph of n vertices. Hayes and Sinclair showed that the mixing time for this dynamics is at least nlog n/f(Δ), where Δ is the maximum degree and f(Δ) = Θ(Δlog²Δ). Their result applies to more general spin systems, and in that generality, they showed that some dependence on Δ is necessary. In this paper, we focus on the ferromagnetic Ising model and prove that the mixing time of Glauber dynamics on any n-vertex graph is at least (1/4 + o(1))nlog n.

Dans cet article nous étudions la dynamique de Glauber du modèle d’Ising sur un graphe fini à n sommets. Hayes et Sinclair ont montré que le temps de mélange de cette dynamique est au moins de nlog(n)f(Δ), où Δ est le degré maximum d’un sommet du graphe et f(Δ) = Θ(Δ log²(Δ)). Leur résultat s’applique également à des modèles de spins généraux où la dépendance en Δ est nécessaire. Dans ce travail nous nous concentrons sur le modèle d’Ising ferromagnétique et montrons que le temps de mélange de la dynamique de Glauber est au moins de (1/4 + o(1))n log(n) sur n’importe quel graphe à n sommets.

By using a wavelet method we prove that the harmonisable-type N-parameter multifractional Brownian motion (mfBm) is a locally nondeterministic Gaussian random field. This nice property then allows us to establish joint continuity of the local times of an (N, d)-mfBm and to obtain some new results concerning its sample path behavior.

Au moyen d’une méthode d’ondelettes nous montrons que le mouvement Brownien multifractionnaire de type harmonisable à N indices (mfBm) est un champ Gaussien localement non-déterministe. Grâce à cette propriété nous établissons ensuite la bicontinuité des temps locaux d’un (N, d)-mfBm et cela nous permet d’obtenir de nouveaux résultats concernant son comportement trajectoriel.

General stochastic equations with jumps are studied. We provide criteria for the uniqueness and existence of strong solutions under non-Lipschitz conditions of Yamada–Watanabe type. The results are applied to stochastic equations driven by spectrally positive Lévy processes.

Nous étudions des équations stochastiques générales avec sauts et proposons un critère qui garantit l’existence et l’unicité de solutions fortes sous des conditions de régularité de type Yamada–Watanabe. Les résultats sont appliqués à des équations stochastiques conduites par des processus de Lévy de sauts positifs.

We develop the theory of invariant random fields in vector bundles. The spectral decomposition of an invariant random field in a homogeneous vector bundle generated by an induced representation of a compact connected Lie group G is obtained. We discuss an application to the theory of relic radiation, where G = SO(3). A theorem about equivalence of two different groups of assumptions in cosmological theories is proved.

Nous développons la théorie des champs aléatoires invariants dans les fibrés vectoriels. Nous obtenons la décomposition spectrale d’un champ aléatoire invariant dans un fibré vectoriel homogène engendré par une représentation induite par un groupe de Lie compact et connexe. Nous discutons une application à la théorie du rayonnement fossile, où G = SO(3). Un théorème sur l’équivalence de deux groupes d’hypothèses cosmologiques est aussi démontré.

We consider exponential functionals of a Brownian motion with drift in ℝⁿ, defined via a collection of linear functionals. We give a characterisation of the Laplace transform of their joint law as the unique bounded solution, up to a constant factor, to a Schrödinger-type partial differential equation. We derive a similar equation for the probability density. We then characterise all diffusions which can be interpreted as having the law of the Brownian motion with drift conditioned on the law of its exponential functionals. In the case where the family of linear functionals is a set of simple roots, the Laplace transform of the joint law of the corresponding exponential functionals can be expressed in terms of a (class-one) Whittaker function associated with the corresponding root system. In this setting, we establish some basic properties of the corresponding diffusion processes.

Nous étudions certaines fonctionelles d’un mouvement Brownien avec dérive dans ℝⁿ qui sont définies par une collection de fonctionnelles linéaires. Nous donnons une caractérisation de la transformée de Laplace de leur loi jointe comme l’unique solution bornée, à une constante près d’une équation aux dérivées partielles de type Schrödinger. Nous déduisons une équation similaire pour la densité. Nous caractérisons ensuite toutes les diffusions qui peuvent être interprétées comme ayant la loi d’un mouvement Brownien avec dérive conditionné par la loi de ses fonctionelles exponentielles. Dans le cas où la famille des fonctionelles est un ensemble de racines simples, la transformée de Laplace de la densité jointe des fonctionnelles exponentielles correspondantes peut être exprimée en termes d’une fonction de Whittaker de classe 1 associée au système. Dans ce cadre, nous établissons quelques propriétés du processus de diffusion correspondant.

We consider a stochastic delay differential equation with exponentially stable drift and diffusion driven by a general Lévy process. The diffusion coefficient is assumed to be locally Lipschitz and bounded. Under a mild condition on the large jumps of the Lévy process, we show existence of an invariant measure. Main tools in our proof are a variation-of-constants formula and a stability theorem in our context, which are of independent interest.

Nous considérons une equation différentielle stochastique retardée à dérive exponentiellement stable et conduite par un processus de Lévy général. Le coefficient de la diffusion est seulement supposé satisfaire une condition lipschitzienne locale et être borné. En supposant une condition additionnelle faible sur les grands sauts du processus de Lévy, nous démontrons l’existence d’une mesure invariante. Les principaux ingrédients de la preuve sont une formule pour les variations des constantes et un théorème de stabilité par rapport aux perturbations des conditions initiales, qui sont d’un intérêt indépendant.

We give necessary and sufficient conditions guaranteeing that the coupling for Lévy processes (with non-degenerate jump part) is successful. Our method relies on explicit formulae for the transition semigroup of a compound Poisson process and earlier results by Mineka and Lindvall–Rogers on couplings of random walks. In particular, we obtain that a Lévy process admits a successful coupling, if it is a strong Feller process or if the Lévy (jump) measure has an absolutely continuous component.

Nous donnons les conditions nécessaires et suffisantes pour le succès du couplage entre des processus de Lévy (avec partie de sauts non-dégénérée). Notre méthode est basée sur les formules explicites pour le semigroupe de transition d’un processus de Poisson composé, et les résultats de Mineka et Lindvall–Rogers sur le couplage d’une marche aléatoire. En particulier, nous montrons qu’un processus de Lévy admet un couplage, s’il est un processus fortement fellerien ou si la mesure de Lévy (mesure de sauts) possède une composante absolument continue.

In the present paper we define the notion of generalized cumulants which gives a universal framework for commutative, free, Boolean and especially, monotone probability theories. The uniqueness of generalized cumulants holds for each independence, and hence, generalized cumulants are equal to the usual cumulants in the commutative, free and Boolean cases. The way we define (generalized) cumulants needs neither partition lattices nor generating functions and then will give a new viewpoint to cumulants. We define “monotone cumulants” in the sense of generalized cumulants and we obtain quite simple proofs of central limit theorem and Poisson’s law of small numbers in monotone probability theory. Moreover, we clarify a combinatorial structure of moment-cumulant formula with the use of “monotone partitions.”

Dans cet article, nous définissons une notion de cumulants généralisés qui fournit un cadre commun pour les théories de probabilités commutatives, libres, booléennes et monotones. L’unicité des cumulants généralisés est vérifiée pour chacune de ces notions d’indépendance, qui par conséquent coincident avec les cumulants usuels dans les cadres commutatifs, libres et booléen. La façon dont nous définissons ces cumulants ne nécessite ni partition de réseaux ni fonction génératrice et donne un nouveau point de vue sur ces cumulants. Nous définissons des “cumulants monotones” et obtenons des preuves assez simples des théorémes de la limite centrale et de la distribution de Poisson dans le contexte des probabilités monotones. De plus, nous clarifions une structure combinatoire de la relation moments-cumulants à l’aide des “partitions monotones”.

We propose in this work an original estimator of the conditional intensity of a marker-dependent counting process, that is, a counting process with covariates. We use model selection methods and provide a nonasymptotic bound for the risk of our estimator on a compact set. We show that our estimator reaches automatically a convergence rate over a functional class with a given (unknown) anisotropic regularity. Then, we prove a lower bound which establishes that this rate is optimal. Lastly, we provide a short illustration of the way the estimator works in the context of conditional hazard estimation.

Dans ce travail, nous proposons un estimateur original de l’intensité conditionnelle d’un processus de comptage marqué, c’est-à-dire d’un processus de comptage dépendant de covariables. Nous utilisons une méthode de sélection de modèle et nous obtenons pour notre estimateur, une borne non asymptotique du risque quadratique sur un compact. Nous vérifions ensuite que l’estimateur atteint automatiquement une vitesse de convergence sur des classes fonctionnelles de régularité anisotropique fixée mais inconnue. Enfin, nous démontrons une borne inférieure qui garantit l’optimalité de la vitesse obtenue. Une brève illustration de la façon dont fonctionne l’estimateur dans le contexte de l’estimation du taux de risque instantané conditionnel est fournie pour conclure.

In the context of high frequency data, one often has to deal with observations occurring at irregularly spaced times, at transaction times for example in finance. Here we examine how the estimation of the squared or other powers of the volatility is affected by irregularly spaced data. The emphasis is on the kind of assumptions on the sampling scheme which allow to provide consistent estimators, together with an associated central limit theorem, and especially when the sampling scheme depends on the observed process itself.

Dans le contexte de données à haute fréquences, il est fréquent de recueillir les informations le long d’une grille irrégilière, par exemple aux instants de transaction pour les données financières. Dans cet article, nous étudions comment l’estimation de l’intégrale du carré, ou d’autres puissances, de la volatilité est affectée par l’irrégularité des données. L’accent est mis sur le type d’hypothèses qu’il est nécessaire de faire sur la répartition des observations, en particulier lorsque celles-ci dépendent du processus observé lui-même, de façon à obtenir un théorème limite central pour nos estimateurs.

Let H₀ denote the class of all real valued i.i.d. processes and H₁ all other ergodic real valued stationary processes. In spite of the fact that these classes are not countably tight we give a strongly consistent sequential test for distinguishing between them.

Soit H₀ la classe de tous les processus indépendants et équidistribués à valeurs réelles, et H₁ la classe complémentaire dans l’ensemble des processus ergodiques. Nous donnons un test séquentiel fortement consistant pour les distinguer.