Spectral gaps and exponential integrability of hitting times for linear diffusions

Abstract

Let X be a regular continuous positively recurrent Markov process with state space ℝ, scale function S and speed measure m. For a∈ℝ denote

B_a⁺=sup_x≥am(]x, +∞[)(S(x)−S(a)),

B_a⁻=sup_x≤am(]−∞; x[)(S(a)−S(x)).

It is well known that the finiteness of B_a^± is equivalent to the existence of spectral gaps of generators associated with X. We show how these quantities appear independently in the study of the exponential moments of hitting times of X. Then we establish a very direct relation between exponential moments and spectral gaps, all by improving their classical bounds.

Soit X un processus de Markov récurrent positif à trajectoires continues et à valeurs dans ℝ. Soient S sa fonction d’échelle et m sa mesure de vitesse. Pour a∈ℝ notons

B_a⁺=sup_x≥am(]x, +∞[)(S(x)−S(a)),

B_a⁻=sup_x≤am(]−∞; x[)(S(a)−S(x)).

Il est bien connu que la finitude de B_a^± est équivalente à l’existence d’un trou spectral du générateur associé à X. Nous montrons comment ces quantités apparaissent d’une manière indépendante dans l’étude des temps d’atteinte de X. Ensuite nous établissons une relation directe entre les moments exponentiels et le trou spectral, en améliorant en plus leurs encadrements classiques.