We consider random walks in a random environment given by i.i.d. Dirichlet distributions at each vertex of ℤ^d or, equivalently, oriented edge reinforced random walks on ℤ^d. The parameters of the distribution are a 2d-uplet of positive real numbers indexed by the unit vectors of ℤ^d. We prove that, as soon as these weights are nonsymmetric, the random walk is transient in a direction (i.e., it satisfies X_n ⋅ ℓ →_n +∞ for some ℓ) with positive probability. In dimension 2, this result is strenghened to an almost sure directional transience thanks to the 0–1 law from [Ann. Probab. 29 (2001) 1716–1732]. Our proof relies on the property of stability of Dirichlet environment by time reversal proved in [Random walks in random Dirichlet environment are transient in dimension d ≥ 3 (2009), Preprint]. In a first part of this paper, we also give a probabilistic proof of this property as an alternative to the change of variable computation used initially.

On s’intéresse aux marches aléatoires dans un environnement défini par des variables de Dirichlet i.i.d. en chaque sommet de ℤ^d ou, de façon équivalente, aux marches aléatoires renforcées par arêtes orientées sur ℤ^d. Les paramètres de ce modèle sont un 2d-uplet de réels positifs indexé par les vecteurs unitaires de ℤ^d. On démontre que, dès que ces poids ne sont pas symétriques, la marche aléatoire est transiente dans une direction (c’est-à-dire qu’elle satisfait X_n ⋅ ℓ →_n +∞ pour un certain ℓ) avec probabilité positive. En dimension 2, la loi du 0–1 de [Ann. Probab. 29 (2001) 1716–1732] permet de renforcer ce résultat en transience directionnelle presque-sûre. La preuve repose sur la propriété de stabilité des environnements de Dirichlet par renversement temporel introduite dans [Random walks in random Dirichlet environment are transient in dimension d≥3 (2009), Preprint] et dont on donne une nouvelle démonstration, de nature plus probabiliste, en première partie du présent article.

We give a series representation of the logarithm of the bivariate Laplace exponent κ of α-stable processes for almost all α ∈ (0, 2].

Nous donnons un développement en série du logarithme de l’exposant de Laplace bivarié κ des processus α-stables pour presque tous α ∈ (0, 2].

We consider a long-range version of self-avoiding walk in dimension d > 2(α ∧ 2), where d denotes dimension and α the power-law decay exponent of the coupling function. Under appropriate scaling we prove convergence to Brownian motion for α ≥ 2, and to α-stable Lévy motion for α < 2. This complements results by Slade [J. Phys. A 21 (1988) L417–L420], who proves convergence to Brownian motion for nearest-neighbor self-avoiding walk in high dimension.

Nous considérons un modèle à longue portée de la marche aléatoire auto-évitante en dimension d > 2(α ∧ 2), où d est la dimension et α l’exposant de décroissance polynomiale de la fonction de couplage. Après un rééchelonnage approprié, nous démontrons la convergence vers un mouvement brownien pour α ≥ 2 et vers un processus de Lévy α-stable pour α < 2. Ce résultat complète celui de Slade [J. Phys. A 21 (1988) L417–L420] qui démontre la convergence vers le mouvement brownien pour une marche auto-évitante à plus proche voisin en grande dimension.

The aim of this paper is to build an estimate of an unknown density as a linear combination of functions of a dictionary. Inspired by Candès and Tao’s approach, we propose a minimization of the ℓ₁-norm of the coefficients in the linear combination under an adaptive Dantzig constraint coming from sharp concentration inequalities. This allows to consider a wide class of dictionaries. Under local or global structure assumptions, oracle inequalities are derived. These theoretical results are transposed to the adaptive Lasso estimate naturally associated to our Dantzig procedure. Then, the issue of calibrating these procedures is studied from both theoretical and practical points of view. Finally, a numerical study shows the significant improvement obtained by our procedures when compared with other classical procedures.

L’objectif de cet article est de construire un estimateur d’une densité inconnue comme combinaison linéaire de fonctions d’un dictionnaire. Inspirés par l’approche de Candès et Tao, nous proposons une minimisation de la norme ℓ₁ des coefficients dans la combinaison linéaire sous une contrainte de Dantzig adaptative issue d’inégalités de concentration précises. Ceci nous permet de considérer une large classe de dictionnaires. Sous des hypothèses de structure locale ou globale, nous obtenons des inégalités oracles. Ces résultats théoriques sont transposés à l’estimateur Lasso adaptatif naturellement associé à notre procédure de Dantzig. Le problème de la calibration de ces procédures est alors étudié à la fois du point de vue théorique et du point de vue pratique. Enfin, une étude numérique montre l’amélioration significative obtenue par notre procédure en comparaison d’autres procédures plus classiques.

We show that for percolation on any transitive graph, the triangle condition implies the open triangle condition.

Nous montrons que dans le cas de la percolation sur un graphe transitif la “condition du triangle” est équivalente à celle du “triangle ouvert”.

We study the upper tails for the energy of a randomly charged symmetric and transient random walk. We assume that only charges on the same site interact pairwise. We consider annealed estimates, that is when we average over both randomness, in dimension three or more. We obtain a large deviation principle, and an explicit rate function for a large class of charge distributions.

Nous étudions les grandes déviations pour l’énergie d’un polymère. L’espace est discret, et le polymère est une chaine linéaire de n monomères associés à des charges. Nous supposons que deux charges n’intéragissent que lorsqu’elles occupent le même site de ℤ^d. Nous considérons le cas où les deux aléas, valeurs des charges et positions des monomères, sont moyennés, et où la dimension de l’espace est 3 ou plus. Nous obtenons un principe de grande déviations, et pour certaines distributions de charges, la fonctionnelle de taux est explicite.

Consider a discrete-time one-dimensional supercritical branching random walk. We study the probability that there exists an infinite ray in the branching random walk that always lies above the line of slope γ − ε, where γ denotes the asymptotic speed of the right-most position in the branching random walk. Under mild general assumptions upon the distribution of the branching random walk, we prove that when ε → 0, this probability decays like exp{−(β+o(1)) / ε^1/2}, where β is a positive constant depending on the distribution of the branching random walk. In the special case of i.i.d. Bernoulli(p) random variables (with 0 < p < ½) assigned on a rooted binary tree, this answers an open question of Robin Pemantle (see Ann. Appl. Probab. 19 (2009) 1273–1291).

Considérons une marche aléatoire branchante surcritique à temps discret. Nous nous intéressons à la probabilité qu’il existe un rayon infini du support de la marche aléatoire branchante, le long duquel elle croît plus vite qu’une fonction linéaire de pente γ − ε, où γ désigne la vitesse asymptotique de la position de la particule la plus à droite dans la marche aléatoire branchante. Sous des hypothèses générales peu restrictives, nous prouvons que, lorsque ε → 0, cette probabilité décroît comme exp{−(β+o(1)) / ε^1/2}, où β est une constante strictement positive dont la valeur dépend de la loi de la marche aléatoire branchante. Dans le cas spécial où des variables aléatoires i.i.d. de Bernoulli(p) (avec 0 < p < ½) sont placées sur les arêtes d’un arbre binaire enraciné, ceci répond à une question ouverte de Robin Pemantle (Ann. Appl. Probab. 19 (2009) 1273–1291).

We prove sharp estimates on the expected number of windings of a simple random walk on the square or triangular lattice. This gives new lower bounds on the averaged Dehn function, which measures the expected area needed to fill a random curve with a disc.

Le principal résultat de cet article donne un équivalent précis de l’espérance du nombre total de tours effectués par la marche aléatoire simple sur ℤ² ou sur le réseau triangulaire. Comme corollaire, nous obtenons une nouvelle borne inférieure de la fonction de Dehn moyennée sur ℤ^d, d ≥ 2, qui mesure l’aire moyenne du disque remplissant de manière optimale une courbe de longueur donnée.

Recently the renormalization group predictions on the effect of disorder on pinning models have been put on mathematical grounds. The picture is particularly complete if the disorder is relevant or irrelevant in the Harris criterion sense: the question addressed is whether quenched disorder leads to a critical behavior which is different from the one observed in the pure, i.e. annealed, system. The Harris criterion prediction is based on the sign of the specific heat exponent of the pure system, but it yields no prediction in the case of vanishing exponent. This case is called marginal, and the physical literature is divided on what one should observe for marginal disorder, notably there is no agreement on whether a small amount of disorder leads or not to a difference between the critical point of the quenched system and the one for the pure system. In [Comm. Pure Appl. Math. 63 (2010) 233–265] we have proven that the two critical points differ at marginality of at least exp(−c / β⁴), where c > 0 and β² is the disorder variance, for β ∈ (0, 1) and Gaussian IID disorder. The purpose of this paper is to improve such a result: we establish in particular that the exp(−c / β⁴) lower bound on the shift can be replaced by exp(−c(b) / β^b), c(b) > 0 for b > 2 (b = 2 is the known upper bound and it is the result claimed in [J. Stat. Phys. 66 (1992) 1189–1213]), and we deal with very general distribution of the IID disorder variables. The proof relies on coarse graining estimates and on a fractional moment change of measure argument based on multi-body potential modifications of the law of the disorder.

Récemment, les prédictions issues des méthodes de groupe de renormalisation concernant l’influence du désordre pour les modèles d’accrochage ont été rendus rigoureuses mathématiquement. La description du phénomène est particulièrement complète dans le cas où le désordre est pertinent ou non-pertinent au sens du critère de Harris: on étudie si le désordre gelé engendre un comportement critique différent de celui que l’on observe pour le système pur, i.e. moyenné. Le critère de Harris se base sur le signe de l’exposant de la chaleur spécifique du système pur pour déterminer l’influence du désordre, mais ne prédit rien dans le cas où cet exposant vaut zéro. Ce cas est dit marginal et il n’y a pas de consensus dans la littérature physique sur ce que l’on devrait observer pour le système désordonné marginal; en particulier, il y a une controverse pour déterminer si un désordre de faible amplitude engendre ou non un déplacement du point critique du système avec désordre gelé par rapport à celui du système pur. Dans [Comm. Pure Appl. Math. 63 (2010) 233–265], nous avons démontré que, dans le cas marginal, la différence entre les deux points critiques est au moins d’ordre exp(−c / β⁴), où c > 0 et β² est la variance du désordre, pour β ∈ (0, 1) dans le cas d’un désordre gaussien IID. L’objectif de cet article est d’améliorer le résultat précédent: en particulier nous montrons que la borne inférieure exp(−c / β⁴) pour le déplacement du point critique peut être remplacée par exp(−c(b) / β^b), c(b) > 0 pour tout b > 2 (b = 2 est la borne supérieure connue, et le résultat prédit dans [J. Stat. Phys. 66 (1992) 1189–1213]), et nous généralisons la preuve à des désordres IID très généraux. La démonstration s’appuie sur des estimées obtenues par coarse graining, et sur l’estimation de moments non-entiers de la fonction de partition, en modifiant la loi du désordre en y appliquant un potentiel multicorps.

We propose to test the homogeneity of a Poisson process observed on a finite interval. In this framework, we first provide lower bounds for the uniform separation rates in $\mathbb{L}^{2}$-norm over classical Besov bodies and weak Besov bodies. Surprisingly, the obtained lower bounds over weak Besov bodies coincide with the minimax estimation rates over such classes. Then we construct non-asymptotic and non-parametric testing procedures that are adaptive in the sense that they achieve, up to a possible logarithmic factor, the optimal uniform separation rates over various Besov bodies simultaneously. These procedures are based on model selection and thresholding methods. We finally complete our theoretical study with a Monte Carlo evaluation of the power of our tests under various alternatives.

Nous proposons de tester l’homogénéité d’un processus de Poisson observé sur un intervalle borné. Nous établissons tout d’abord des bornes inférieures pour les vitesses de séparation uniformes relativement à la norme $\mathbb {L}^{2}$ sur des Besov bodies classiques ou faibles. De façon surprenante, nous obtenons des bornes inférieures sur les Besov bodies faibles qui coïncident avec les vitesses minimax d’estimation sur ce type de classe. Ensuite, nous construisons des procédures de tests non asymptotiques et non paramétriques qui sont adaptatives, au sens où elles atteignent, à un facteur logarithmique près dans certains cas, les vitesses de séparation optimales sur plusieurs classes d’alternatives simultanément. Ces procédures sont basées sur des méthodes de sélection de modèles et de seuillage. Enfin, nous complétons cette étude théorique par des simulations afin d’estimer par la méthode de Monte Carlo la puissance de nos tests sous diverses alternatives.

We consider a bounded step size random walk in an ergodic random environment with some ellipticity, on an integer lattice of arbitrary dimension. We prove a level 3 large deviation principle, under almost every environment, with rate function related to a relative entropy.

Nous considérons une marche aléatoire en environment aléatoire ergodique. La marche est elliptique et à pas bornés. Nous prouvons un principe de grandes déviations au niveau 3, sous presque tout environnement, avec une fonctionnelle d’action liée à une entropie relative.

We study a Markov process on a system of interlacing particles. At large times the particles fill a domain that depends on a parameter ε > 0. The domain has two cusps, one pointing up and one pointing down. In the limit ε ↓ 0 the cusps touch, thus forming a tacnode. The main result of the paper is a derivation of the local correlation kernel around the tacnode in the transition regime ε ↓ 0. We also prove that the local process interpolates between the Pearcey process and the GUE minor process.

Nous étudions un processus de Markov sur un système de particules entrelacées. Lorsque le temps t est grand, les particules remplissent un domaine dépendant d’un paramètre ε > 0. Ce domaine possède deux points de rebroussement, dont l’un pointe vers le haut et l’autre vers le bas. À la limite ε ↓ 0, les deux points de rebroussement sont tangents, formant ainsi un tacnode. Le résultat principal de cet article est un calcul du noyau de corrélation locale autour du point tacnodal pendant le régime de transition ε ↓ 0. Nous démontrons aussi que le processus local interpole entre le processus de Pearcey et le processus des mineurs du GUE.

We study the continuous time version of the random walk pinning model, where conditioned on a continuous time random walk (Y_s)_s≥0 on ℤ^d with jump rate ρ > 0, which plays the role of disorder, the law up to time t of a second independent random walk (X_s)_0≤s≤t with jump rate 1 is Gibbs transformed with weight e^βL_t(X,Y), where L_t(X, Y) is the collision local time between X and Y up to time t. As the inverse temperature β varies, the model undergoes a localization–delocalization transition at some critical β_c ≥ 0. A natural question is whether or not there is disorder relevance, namely whether or not β_c differs from the critical point β_c^ann for the annealed model. In [3], it was shown that there is disorder irrelevance in dimensions d = 1 and 2, and disorder relevance in d ≥ 4. For d ≥ 5, disorder relevance was first proved in [2]. In this paper, we prove that if X and Y have the same jump probability kernel, which is irreducible and symmetric with finite second moments, then there is also disorder relevance in the critical dimension d = 3, and β_c − β_c^ann is at least of the order e^{−C(ζ)/ρζ}, C(ζ) > 0, for any ζ > 2. Our proof employs coarse graining and fractional moment techniques, which have recently been applied by Lacoin [13] to the directed polymer model in random environment, and by Giacomin, Lacoin and Toninelli [10] to establish disorder relevance for the random pinning model in the critical dimension. Along the way, we also prove a continuous time version of Doney’s local limit theorem [5] for renewal processes with infinite mean.

Nous étudions la version à temps continu du modèle de marche aléatoire avec accrochage, où conditionné sur une marche aléatoire à temps continu (Y_s)_s≥0 sur ℤ^d avec taux de saut ρ > 0, qui joue le rôle de désordre, la loi jusqu’au temps t d’une seconde marche aléatoire indépendante (X_s)_0≤s≤t avec taux de saut 1 est la transformée de Gibbs avec poids e^βL_t(X,Y), où L_t(X, Y) est le temps local de collision entre X et Y jusqu’au temps t. Lorsque la température inverse β varie, le modèle subit une transition de localisation-délocalisation à un β_c ≥ 0 critique. Une question naturelle est de savoir s’il y a pertinence du désordre ou pas, i.e., si β_c diffère ou pas du point critique β_c^ann pour le modèle moyenné. Dans [3], il a été montré qu’il y avait non pertinence du désordre en dimensions d = 1 et 2, et pertinence du désordre lorsque d ≥ 4. Pour d ≥ 5, la pertinence du désordre fût d’abord prouvée dans [2]. Dans ce papier, nous prouvons que si X et Y ont le même noyau de probabilité de saut, qui est irréductible et symétrique avec des moments du second ordre finis, alors il y a également pertinence du désordre en dimension critique d = 3, et β_c − β_c^ann est au moins de l’ordre e^{−C(ζ)/ρζ}, C(ζ) > 0, pour tout ζ > 2. Notre preuve utilise des techniques de coarse graining et de moment fractionnaire, qui ont été récemment appliquées par Lacoin [13] au modèle de polymère dirigé en milieu aléatoire, et par Giacomin, Lacoin et Toninelli [10] pour établir la pertinence du désordre pour le modèle d’accrochages aléatoires en dimension critique. En chemin, nous prouvons également une version en temps continu du théorème limite local de Doney [5] pour des processus de renouvellement avec moyenne infinie.

For the random walk among random conductances, we prove that the environment viewed by the particle converges to equilibrium polynomially fast in the variance sense, our main hypothesis being that the conductances are bounded away from zero. The basis of our method is the establishment of a Nash inequality, followed either by a comparison with the simple random walk or by a more direct analysis based on a martingale decomposition. As an example of application, we show that under certain conditions, our results imply an estimate of the speed of convergence of the mean square displacement of the walk towards its limit.

Pour la marche aléatoire en conductances aléatoires, nous montrons que l’environnement vu par la particule converge vers l’équilibre à une vitesse polynomiale au sens de la variance, notre hypothèse principale étant que les conductances sont uniformément minorées. Notre méthode se base sur l’établissement d’une inégalité de Nash, suivie soit d’une comparaison avec la marche aléatoire simple, soit d’une analyse plus directe fondée sur une méthode de martingale. Comme exemple d’application, nous montrons que sous certaines conditions, ces résultats permettent d’estimer la vitesse de convergence vers sa limite du déplacement quadratique moyen de la marche.