Almost-sure growth rate of generalized random Fibonacci sequences

Abstract

We study the generalized random Fibonacci sequences defined by their first non-negative terms and for n≥1, F_n+2=λF_n+1±F_n (linear case) and ̃F_n+2=|λ̃F_n+1±̃F_n| (non-linear case), where each ± sign is independent and either + with probability p or − with probability 1−p (0<p≤1). Our main result is that, when λ is of the form λ_k=2cos(π/k) for some integer k≥3, the exponential growth of F_n for 0<p≤1, and of ̃F_n for 1/k<p≤1, is almost surely positive and given by

∫₀^∞log x dν_k, ρ(x),

where ρ is an explicit function of p depending on the case we consider, taking values in [0, 1], and ν_k, ρ is an explicit probability distribution on ℝ₊ defined inductively on generalized Stern–Brocot intervals. We also provide an integral formula for 0<p≤1 in the easier case λ≥2. Finally, we study the variations of the exponent as a function of p.

On considère les suites de Fibonacci aléatoires généralisées, définies par leurs deux premiers termes (positifs ou nuls) et, pour n≥1, F_n+2=λF_n+1±F_n (cas linéaire) et ̃F_n+2=|λ̃F_n+1±̃F_n| (cas non-linéaire). Chaque signe ± est choisi indépendemment, + avec probabilité p ou − avec probabilité 1−p (0<p≤1). Nous montrons que, lorsque λ est de la forme λ_k=2cos(π/k) pour un entier k≥3, la croissance exponentielle de F_n pour 0<p≤1, et celle de ̃F_n pour 1/k<p≤1, est presque sûrement strictement positive et est donnée par

∫₀^∞log x dν_k, ρ(x),

où ρ est une fonction explicite de p dépendant du cas considéré, à valeurs dans [0, 1], et ν_k, ρ est une mesure de probabilité explicite sur ℝ₊ définie inductivement sur les intervalles de Stern–Brocot généralisés. Nous donnons aussi une formule intégrale pour 0<p≤1 dans le cas, plus facile, où λ≥2. Enfin, nous étudions les variations de l’exposant en fonction de p.