We study the gradient flow for the relative entropy functional on probability measures over a Riemannian manifold. To this aim we present a notion of a Riemannian structure on the Wasserstein space. If the Ricci curvature is bounded below we establish existence and contractivity of the gradient flow using a discrete approximation scheme. Furthermore we show that its trajectories coincide with solutions to the heat equation.

Nous étudions les flux gradients dans l’espace des mesures de probabilité sur une variété Riemannienne pas nécessairement compacte. Dans ce but nous munissons l’espace de Wasserstein avec une sorte de structure Riemannienne. Si la courbure de Ricci de la variété est bornée inférieurement nous démontrons qu’il existe un flux gradient contractif pour l’entropie relative. Il est construit explicitement en utilisant une approximation variationelle discrète. De plus ses trajectoires Coïncident avec les solutions à l’équation de la chaleur.

Motivated by classical considerations from risk theory, we investigate boundary crossing problems for refracted Lévy processes. The latter is a Lévy process whose dynamics change by subtracting off a fixed linear drift (of suitable size) whenever the aggregate process is above a pre-specified level. More formally, whenever it exists, a refracted Lévy process is described by the unique strong solution to the stochastic differential equation

dU_t=−δ1_{Ut>b} dt+dX_t,

where X={X_t : t≥0} is a Lévy process with law ℙ and b, δ∈ℝ such that the resulting process U may visit the half line (b, ∞) with positive probability. We consider in particular the case that X is spectrally negative and establish a suite of identities for the case of one and two sided exit problems. All identities can be written in terms of the q-scale function of the driving Lévy process and its perturbed version describing motion above the level b. We remark on a number of applications of the obtained identities to (controlled) insurance risk processes.

Motivé par des considérations classiques de la théorie du risque, nous étudions des problèmes de croisement de frontière par des processus de Lévy réfractés. Un processus de Lévy réfracté est un processus de Lévy dont la dynamique possède une derive linéaire fixe. Plus formellement, un processus de Lévy réfracté est décrit par l’unique solution forte, si elle existe, de l’équation différentielle stochastique

dU_t=−δ1_{Ut>b} dt+dX_t,

où X est un processus de Lévy et b, δ∈ℝ, de telle manière que le processus U peut visiter l’intervalle (b, ∞) avec probabilité positive. En particulier, nous considérons le cas où le processus de Lévy n’a pas de saut positif et nous fournissons des calculs explicites pour le problème de sortie d’un intervalle. Toutes les identités peuvent être écrites en terme de la fonction d’échelle associée au processus de Lévy sous-jacent et sa version perturbée. Finallement, nous appliquons les identités obtenues aux processus de risque.

We combine Stein’s method with Malliavin calculus in order to obtain explicit bounds in the multidimensional normal approximation (in the Wasserstein distance) of functionals of Gaussian fields. Among several examples, we provide an application to a functional version of the Breuer–Major CLT for fields subordinated to a fractional Brownian motion.

Nous expliquons comment combiner la méthode de Stein avec les outils du calcul de Malliavin pour majorer, de manière explicite, la distance de Wasserstein entre une fonctionnelle d’un champs gaussien donnée et son approximation normale multidimensionnelle. Entre autres exemples, nous associons des bornes à la version fonctionnelle du théorème de la limite centrale de Breuer–Major, dans le cas du mouvement brownien fractionnaire.

We consider symmetric processes of pure jump type. We prove local estimates on the probability of exiting balls, the Hölder continuity of harmonic functions and of heat kernels, and convergence of a sequence of such processes.

Nous considérons des processus symétriques purement discontinus. Nous obtenons des estimations locales pour les probabilités de sortie d’une boule, la continuité hölderienne des fonctions harmoniques et des noyaux de la chaleur, et la convergence d’un suite de tels processus.

Mixtures are convex combinations of laws. Despite this simple definition, a mixture can be far more subtle than its mixed components. For instance, mixing Gaussian laws may produce a potential with multiple deep wells. We study in the present work fine properties of mixtures with respect to concentration of measure and Sobolev type functional inequalities. We provide sharp Laplace bounds for Lipschitz functions in the case of generic mixtures, involving a transportation cost diameter of the mixed family. Additionally, our analysis of Sobolev type inequalities for two-component mixtures reveals natural relations with some kind of band isoperimetry and support constrained interpolation via mass transportation. We show that the Poincaré constant of a two-component mixture may remain bounded as the mixture proportion goes to 0 or 1 while the logarithmic Sobolev constant may surprisingly blow up. This counter-intuitive result is not reducible to support disconnections, and appears as a reminiscence of the variance-entropy comparison on the two-point space. As far as mixtures are concerned, the logarithmic Sobolev inequality is less stable than the Poincaré inequality and the sub-Gaussian concentration for Lipschitz functions. We illustrate our results on a gallery of concrete two-component mixtures. This work leads to many open questions.

Les mélanges dont il est question ici sont des combinaisons convexes de lois de probabilité. Malgré cette défnition simple, un mélange peut étre beaucoup plus subtil que ses composants. Un mélange de lois gaussiennes par exemple peut donner lieu à des potentiels à profonds puits multiples. Dans ce travail, nous étudions les propriétés fines des mélanges vis à vis de la concentration de la mesure et des inégalités de type Sobolev. Nous proposons des bornes sur la transformée de Laplace faisant intervenir le diamètre de la famille mélangée pour une distance de transport. Notre analyse des inégalités de type Sobolev pour les mélanges à deux composants révèle des relations naturelles avec une forme d’isopérimétrie pour les bandes, ainsi qu’avec le transport optimal sous contrainte de support. Nous établissons que la constante de Poincaré peut rester bornée lorsque la proportion du mélange tend vers 0 tandis que la constante de Sobolev logarithmique peut exploser. Ce phénomène contre intuitif n’est pas réductible à un problème de support et peut être vu comme une trace de la comparaison variance-entropie sur l’espace à deux points. Pour les mélanges, la propriété de concentration de la mesure sous-gaussienne et l’inégalité de Poincaré sont plus stables que l’inégalité de Sobolev logarithmique. Nous illustrons nos résultats avec une collection d’exemples à deux composants concrets. Ce travail conduit à plusieurs questions ouvertes.

We consider a general discrete model for heterogeneous semiflexible polymer chains. Both the thermal noise and the inhomogeneous character of the chain (the disorder) are modeled in terms of random rotations. We focus on the quenched regime, i.e., the analysis is performed for a given realization of the disorder. Semiflexible models differ substantially from random walks on short scales, but on large scales a Brownian behavior emerges. By exploiting techniques from tensor analysis and non-commutative Fourier analysis, we establish the Brownian character of the model on large scales and we obtain an expression for the diffusion constant. We moreover give conditions yielding quantitative mixing properties.

On considère un modèle discret pour un polymère semi-flexible et hétérogène. Le bruit thermique et le caractère hétérogène du polymère (le désordre) sont modélisés en termes de rotations aléatoires. Nous nous concentrons sur le régime de désordre gélé, c’est-à-dire, l’analyse est effectuée pour une réalisation fixée du désordre. Les modèles semi-flexibles diffèrent sensiblement des marches aléatoires à petite échelle, mais à grande échelle un comportement brownien apparaît. En exploitant des techniques de calcul tensoriel et d’analyse de Fourier non-commutative, nous établissons le caractère brownien du modèle à grande échelle et nous obtenons une expression pour la constante de diffusion. Nous donnons aussi des conditions qui entraînent des propriétés quantitatives de mélange.

In the spirit of a classical result for Crump–Mode–Jagers processes, we prove a strong law of large numbers for fragmentation processes. Specifically, for self-similar fragmentation processes, including homogenous processes, we prove the almost sure convergence of an empirical measure associated with the stopping line corresponding to first fragments of size strictly smaller than η for 1≥η>0.

Dans l’esprit d’un résultat classique concernant les processus de Crump–Mode–Jagers, nous démontrons une loi forte des grands nombres pour des processus de fragmentation. Plus précisément, pour des processus auto-similaires de fragmentation, incluant les processus homogènes, nous prouvons la convergence presque sûre de la mesure empirique associée à la ligne d’arrêt correspondant aux premiers fragments de taille strictement plus petite qu’un η dans (0, 1].

We study the generalized random Fibonacci sequences defined by their first non-negative terms and for n≥1, F_n+2=λF_n+1±F_n (linear case) and ̃F_n+2=|λ̃F_n+1±̃F_n| (non-linear case), where each ± sign is independent and either + with probability p or − with probability 1−p (0<p≤1). Our main result is that, when λ is of the form λ_k=2cos(π/k) for some integer k≥3, the exponential growth of F_n for 0<p≤1, and of ̃F_n for 1/k<p≤1, is almost surely positive and given by

∫₀^∞log x dν_k, ρ(x),

where ρ is an explicit function of p depending on the case we consider, taking values in [0, 1], and ν_k, ρ is an explicit probability distribution on ℝ₊ defined inductively on generalized Stern–Brocot intervals. We also provide an integral formula for 0<p≤1 in the easier case λ≥2. Finally, we study the variations of the exponent as a function of p.

On considère les suites de Fibonacci aléatoires généralisées, définies par leurs deux premiers termes (positifs ou nuls) et, pour n≥1, F_n+2=λF_n+1±F_n (cas linéaire) et ̃F_n+2=|λ̃F_n+1±̃F_n| (cas non-linéaire). Chaque signe ± est choisi indépendemment, + avec probabilité p ou − avec probabilité 1−p (0<p≤1). Nous montrons que, lorsque λ est de la forme λ_k=2cos(π/k) pour un entier k≥3, la croissance exponentielle de F_n pour 0<p≤1, et celle de ̃F_n pour 1/k<p≤1, est presque sûrement strictement positive et est donnée par

∫₀^∞log x dν_k, ρ(x),

où ρ est une fonction explicite de p dépendant du cas considéré, à valeurs dans [0, 1], et ν_k, ρ est une mesure de probabilité explicite sur ℝ₊ définie inductivement sur les intervalles de Stern–Brocot généralisés. Nous donnons aussi une formule intégrale pour 0<p≤1 dans le cas, plus facile, où λ≥2. Enfin, nous étudions les variations de l’exposant en fonction de p.

Consider a random walk in random environment on a supercritical Galton–Watson tree, and let τ_n be the hitting time of generation n. The paper presents a large deviation principle for τ_n/n, both in quenched and annealed cases. Then we investigate the subexponential situation, revealing a polynomial regime similar to the one encountered in one dimension. The paper heavily relies on estimates on the tail distribution of the first regeneration time.

Nous considérons une marche aléatoire en milieu aléatoire sur un arbre de Galton–Watson. Soit τ_n le temps d’atteinte du niveau n. Le papier présente un principe de grandes déviations pour τ_n/n, dans les cas quenched et annealed. Nous étudions ensuite le régime sous-exponentiel, qui fait apparaître un régime polynomial rappelant la dimension 1. Le papier repose principalement sur les estimations de la queue de distribution du premier temps de renouvellement.

We prove that the uniform infinite random quadrangulations defined respectively by Chassaing–Durhuus and Krikun have the same distribution.

On démontre que les quadrangulations aléatoires infinies uniformes définies respectivement par Chassaing–Durhuus et par Krikun ont la même loi.

A connection between representation of compact groups and some invariant ensembles of Hermitian matrices is described. We focus on two types of invariant ensembles which extend the Gaussian and the Laguerre Unitary ensembles. We study them using projections and convolutions of invariant probability measures on adjoint orbits of a compact Lie group. These measures are described by semiclassical approximation involving tensor and restriction multiplicities. We show that a large class of them are determinantal.

Nous décrivons les liens unissant les représentations de groupes compacts et certains ensembles invariants de matrices aléatoires. Cet article porte plus particulièrement sur deux types d’ensembles invariants qui généralisent les ensembles gaussiens ou de Laguerre. Nous les étudions en considérant des convolutions ou des projections de probabilités invariantes sur des orbites adjointes de groupes de Lie compacts. Par approximation semi-classique, ces mesures sont décrites par des produits tensoriels ou des restrictions de représentations. Nous montrons qu’une large classe d’entre elles sont déterminantales.

We reveal a shape transition for a transient simple random walk forced to realize an excess q-norm of the local times, as the parameter q crosses the value q_c(d)=d/(d−2). Also, as an application of our approach, we establish a central limit theorem for the q-norm of the local times in dimension 4 or more.

Nous décrivons un phénomène de transition de forme d’une marche aléatoire transiente forcée à réaliser une grande valeur de la norme-q du temps local, lorsque le paramètre q traverse la valeur critique q_c(d)=d/(d−2). Comme application de notre approche, nous établissons un théorème de la limite centrale pour la norme-q du temps local en dimension 4 et plus.

Let X be the branching particle diffusion corresponding to the operator Lu+β(u²−u) on D⊆ℝ^d (where β≥0 and β≢0). Let λ_c denote the generalized principal eigenvalue for the operator L+β on D and assume that it is finite. When λ_c>0 and L+β−λ_c satisfies certain spectral theoretical conditions, we prove that the random measure exp{−λ_ct}X_t converges almost surely in the vague topology as t tends to infinity. This result is motivated by a cluster of articles due to Asmussen and Hering dating from the mid-seventies as well as the more recent work concerning analogous results for superdiffusions of [Ann. Probab. 30 (2002) 683–722, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 42 (2006) 171–185]. We extend significantly the results in [Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 36 (1976) 195–212, Math. Scand. 39 (1977) 327–342, J. Funct. Anal. 250 (2007) 374–399] and include some key examples of the branching process literature. As far as the proofs are concerned, we appeal to modern techniques concerning martingales and “spine” decompositions or “immortal particle pictures.”

Soit X le processus de diffusion avec branchement correspondant à l’operateur Lu+β(u²−u) sur D⊆ℝ^d (où β≥0 et β≢0). La valeur propre principale généralisée de l’operateur L+β sur D est dénotée par λ_c et on la suppose finie. Quand λ_c>0 et L+β−λ_c satisfait certaines conditions spectrales théoriques, on montre que la mesure aléatoire exp{−λ_ct}X_t converge presque sûrement pour la topologie vague quand t tend vers l’infini. Ce résultat est motivé par un ensemble d’articles par Asmussen et Hering datant du milieu des années soixante-dix, ainsi que par des travaux plus récents [Ann. Probab. 30 (2002) 683–722, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 42 (2006) 171–185] concernant des résultats analogues pour les superdiffusions. Nous généralisons de manière significative les résultats de [Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 36 (1976) 195–212, Math. Scand. 39 (1977) 327–342, J. Funct. Anal. 250 (2007) 374–399] et nous donnons quelques exemples clés de la théorie des processus de branchement. En ce qui concerne les démonstrations, nous faisons appel aux techniques modernes de martingales et aux “spine decompositions” ou “immortal particle pictures.”