Branching Brownian motion with an inhomogeneous breeding potential

Abstract

This article concerns branching Brownian motion (BBM) with dyadic branching at rate β|y|^p for a particle with spatial position y∈ℝ, where β>0. It is known that for p>2 the number of particles blows up almost surely in finite time, while for p=2 the expected number of particles alive blows up in finite time, although the number of particles alive remains finite almost surely, for all time. We define the right-most particle, R_t, to be the supremum of the spatial positions of the particles alive at time t and study the asymptotics of R_t as t→∞. In the case of constant breeding at rate β the linear asymptotic for R_t is long established. Here, we find asymptotic results for R_t in the case p∈(0, 2]. In contrast to the linear asymptotic in standard BBM we find polynomial asymptotics of arbitrarily high order as p↑2, and a non-trivial limit for lnR_t when p=2. Our proofs rest on the analysis of certain additive martingales, and related spine changes of measure.

Cet article concerne un mouvement brownien branchant (BBM) en deux particules avec un taux β|y|^p pour une particule située en y∈ℝ, avec une constante β>0. Il est connu que pour p>2, le nombre de particules explose presque sûrement en temps fini, alors que pour p=2 le nombre de particules explose en moyenne en temps fini bien qu’il reste fini presque sûrement à tout moment. Nous définissons la particule la plus à droite R_t comme le supremum des positions spatiales des particules vivant à l’instant t et étudions les asymptotiques de R_t quand t tend vers l’infini. Dans le cas d’une reproduction à taux constant β, l’asymptotique linéaire de R_t est bien connue. Ici, nous trouvons des résultats asymptotiques pour R_t dans le cas où p∈(0, 2]. Contrastant avec les asymptotiques linéaires du BBM standard, nous trouvons des asymptotiques polynomiales de degré arbitrairement grand quand p croit vers 2, et une limite non triviale pour lnR_t quand p=2. Nos preuves s’appuient sur certaines martingales positives et des changements de mesures.