Trees and asymptotic expansions for fractional stochastic differential equations

Abstract

In this article, we consider an n-dimensional stochastic differential equation driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H>1/3. We derive an expansion for E[f(X_t)] in terms of t, where X denotes the solution to the SDE and f:ℝⁿ→ℝ is a regular function. Comparing to F. Baudoin and L. Coutin, Stochastic Process. Appl. 117 (2007) 550–574, where the same problem is studied, we provide an improvement in three different directions: we are able to consider equations with drift, we parametrize our expansion with trees, which makes it easier to use, and we obtain a sharp estimate of the remainder for the case H>1/2.

Dans cet article, nous considérons une équation différentielle stochastique multidimensionnelle dirigée par un mouvement brownien fractionnaire d’indice de Hurst H>1/3. Nous développons E[f(X_t)] par rapport à t, où on note X la solution de l’EDS et où f:ℝⁿ→ℝ est une fonction régulière. Par rapport à F. Baudoin et L. Coutin, Stochastic Process. Appl. 117 (2007) 550–574, où le même problème est étudié, nous améliorons leur résultat dans trois directions différentes: nous traîtons le cas d’une équation avec dérive, nous paramétrons notre développement à l’aide d’arbres, ce qui le rend plus facile à utiliser, et nous proposons un contrôle plus fin du reste quand H>1/2.