Quasi-compactness and mean ergodicity for Markov kernels acting on weighted supremum normed spaces

Abstract

Let P be a Markov kernel on a measurable space E with countably generated σ-algebra, let w:E→[1, +∞[ such that Pw≤Cw with C≥0, and let $\mathcal {B}_{w}$ be the space of measurable functions on E satisfying ‖f‖_w=sup{w(x)⁻¹|f(x)|, x∈E}<+∞. We prove that P is quasi-compact on $(\mathcal {B}_{w},\|\cdot\|_{w})$ if and only if, for all $f\in \mathcal {B}_{w}$, $(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}P^{k}f)_{n}$ contains a subsequence converging in $\mathcal {B}_{w}$ to Πf=∑^d_i=1μ_i(f)v_i, where the v_i’s are non-negative bounded measurable functions on E and the μ_i’s are probability distributions on E. In particular, when the space of P-invariant functions in $\mathcal {B}_{w}$ is finite-dimensional, uniform ergodicity is equivalent to mean ergodicity.

Soit P un noyau markovien sur un espace mesurable E muni d’une tribu à base dénombrable, soit w:E→[1, +∞[ tel que Pw≤Cw, avec C≥0, et soit $\mathcal {B}_{w}$ l’espace des fonctions f mesurables de E dans ℂ telles que ‖f‖_w=sup{w(x)⁻¹|f(x)|, x∈E}<+∞. Nous démontrons que P est quasi-compact sur $(\mathcal {B}_{w},\|\cdot\|_{w})$ si et seulement si, pour tout $f\in \mathcal {B}_{w}$, $(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}P^{k}f)_{n}$ contient une sous-suite convergeant dans $\mathcal {B}_{w}$ vers Πf=∑^d_i=1μ_i(f)v_i, où v_i est une fonction mesurable positive bornée sur E et μ_i une probabilité sur E. En particulier, quand le sous-espace de $\mathcal {B}_{w}$ constitué des fonctions P-invariantes est de dimension finie, la convergence uniforme des moyennes est équivalente à la convergence ponctuelle.