Intégrabilité algébrique : une introduction

Abstract

La plupart des systèmes intégrables classiques admettent une complexification naturelle, où les tores de Liouville deviennent des tores algébriques complexes (variétés abéliennes). Le fait d'introduire un temps complexe et des coordonnées complexes nous fait découvrir les structures algébriques et géometriques sous-jacentes et plusieurs constructions classiques (linéarisation, coordonnées action-angle, solutions explicites, symétries cachées, ...) deviennent explicites, et pour des classes d'exemples même systématiques. A partir de la notion générale d'intégrabilité (au sens de Liouville) sur une variété de Poisson (réelle ou complexe) et après quelques rappels sur les variétés abéliennes, les systèmes algébriquement intégrables seront introduits et leurs propriétés de base seront illustrées sur quelques exemples simples. Pour finir, le critère de Kowalevski-Painlevé sera expliqué et illustré par deux exemples.