On pourrait résumer ainsi les idées développées dans ce mémoire:

Soit un processus de résolution par approximation successives de l'équation aux dérivées partielles: $\frac{{\partial ^2 \bar g}}{{\partial x \partial h}} - \frac{{\partial ^2 \bar g}}{{\partial h^2 }} = 0$ .

Supposons que la solution obtenue s'annule avec h. Cette solution, qu'on peut tuojours concevoir comme mise sous la forme d'une série convergente $\sum {g_n (x,h)} $ est égale à un accroissement de fonction, soit: $f(x + h) - f(x).$

Si le processus d'approximation considéré permet d'obtenir (moyennant des conditions de régularité convenables)toutes les solutions de (E) qui s'annulent avec h, solutions qui sont des accroissements de fonctions, nous dirons que les développements correspondants (F) sont des développements de Taylor.

Les développements donnés dans la première partie de ce mémoire constituent une classe spéciale de développements tayloriens, au sens défini ci-dessus.

Nous nous proposons de revenir ultérieurement sur cette question.

Le présent travail est le développement de trois notes aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris (7 Juillet, 1947, 18 Août 1947, 30 Août 1948).

Durch Doppelreihenentwicklungen nach Legendreschen Polynomen wird die Lösung des Dirichletschen Problems mittels Picard-Iteration numerisch durchgeführt. Für den Rechteck- und den Ellipsenrand können die Entwicklungskoeffizienten der gesuchten Lösung explizit angegeben werden. Einfache Beispiele werden gebracht. Ein Näherungsverfahren zur Berechnung der Legendreschen Koeffizienten für eine Funktion zweier Veränderlicher wird mitgeteilt.