Acta Mathematica

Sur les fonctions absolument monotones

Serge Bernstein

Full-text: Open access

Article information

Source
Acta Math. Volume 52 (1929), 1-66.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

Permanent link to this document
http://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887795

Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02592679

Zentralblatt MATH identifier
57.1428.02

Rights
1929 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B.

Citation

Bernstein, Serge. Sur les fonctions absolument monotones. Acta Math. 52 (1929), 1--66. doi:10.1007/BF02592679. http://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887795.


Export citation

Literatur

  • S. Bernstein, “Leçons sur les propriétés extrémales etc.” (Collection de Monographies publiée sous la direction de M. E. Borel), Première Note (pp. 193–197).
  • Je rappellerai que la thèorie classique des moments de Stieltjes a été complétée recemment par M. H. Hamburger, “Steiltjessches Momentenproblem”, Math. Ann. Bd. 81 (235–315), Bd. 82 (120–164) et M. T. Carleman, “Sur les équations intégrales singulières à noyaux réel et symétrique; je signalerai aussi les Mémoires de M. HausdorffSummationsmethoden und Momentfolgen”, Math. Zeitschrift Bd. 9 et “Momentproblem für endliches Intervall” (dont j'ái pris connaissance pendant la rédaction de ce travail) qui aborde le problème des moments par des méthodes présentant certaines analogies avec les miennes.
  • Nous nous plaçons ici au point de vue purement reel; peu nous importe par conséquent la ou les valeurs qu'on ferait prendre à la fonction f(x) pour x>R, en la prolongeant à travers le plan de la variable complexe. Dans le dernier chapitre seulement nous serons amenés à envisager également nos fonctions pour des valeurs complexes de la variable z=x+iy, en supposant, toujours cependant la partie réelle de x≤R.
  • Tous les paramètres seront différents de o, si on admet, ce que nous pouvons faire, que le signe d'égalité n'apparait pas dans (33), car autrement la fonction F(x) se réduirait elle même à un polynôme exponentiel.
  • Nous supponsons toujours, bien entendu, remplies les conditions (18) pour qu'il existe au moins une fonction absolument monotone.
  • Ainsi les conditions (18) (ou l'hypothèse de monotonie absolue) représentent des conditions de quasianalyticité (au sens général de ce mot) d'une nature toute différente de celles de M. Carleman, puisque la croissance des dérivées successives n'est pas limitée par ces conditions, du moment qu'une modification convenable de F′ (o) (ouF(o)) rend la fonction F(x) parfaitement déterminée par ses valeurs initiales.
  • L'ordre des polynômes qui admettent les deux représentations est égal au plus petit des deux nombres correspondants.
  • qui représente alors cette fonction unique.
  • Il est évident que, si la dernière derivée seulement s'annulait, c'est le polynômeP(x)=F(o)+...+xm−2/(m−2)!F(m−2)(o) qui serait la seule fonction absolument monotone pour x<0, et L serait égal au module de la plus petite en valeur absolue das racines négatives de P(x)=0, P′(x)=0,..., P(m−3)(x)=0.
  • Dans le cas, où les conditions initiales seraient m valeurs quelconques de la fonction aux points donnés du segment (−L, 0), il faut ajouter que ce polynôme principal dégénéré doit avoir des lacunes, car on ne peut plus affirmer que le polynôme doit être au moins du degré m−1 (comme cela a leiu quand F(m−1)(0)>0).
  • Voir la Note de mes “Leçons sur les propriétés extrémales etc.” page 191 et suiv.
  • Il est aisé de vérifier que, si le signe d'égalité a lieu, pour, une valeur de η il subsiste pour toutes les valuers supérieures, et F(x) se réduit alors à un polynôme exponentiel.
  • On pourrait aussi arriver à la même conclusion, en appliquant les considérations de la page 20.
  • Pour x≥0 réel on a f2h(x)≤f2h+2(x); par conséquent, f2h(x) croîtra indéfiniment pour x=x0 ou bien tendra vers une fonction exponentiellement convexe, sur tout le segment (0, x0). Le rayon de convergence R de la série (87) est donc déterminé par la propriété que, si |x0|< R, en peut tonjours fixer un nombre L, tel que f2h(±x0)< L, etque cela n'est plus possible, si |x0|> R.