Acta Mathematica

Über Potenzreihen mit vorgeschriebenen Anfangsgliedern

Friedrich Riesz

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Source
Acta Math. Volume 42 (1920), 145-171.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

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Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02404405

Zentralblatt MATH identifier
47.0272.02

Rights
1920 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B.

Citation

Riesz, Friedrich. Über Potenzreihen mit vorgeschriebenen Anfangsgliedern. Acta Math. 42 (1920), 145--171. doi:10.1007/BF02404405. http://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887517.


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Literatur

  • C. Carathéodory, u. L. Fejér, Über den Zusammenhang der Extremen von harmonischen Funktionen mit ihren Koefficienten etc, Rendiconti del Circ. Mat. di Palermo, t. XXXII (20 sem. 1911), p. 232.
  • T. H. Gronwall, On the maximum modulus of an analytic functions, Annals of mathematics, 20 ser., vol. 16 (1914–1915), p. 77.
  • A. Pringsheim, Über das Verhalten von Potenzreihen auf dem Convergenzkreise, Sitzungsber. d. math.-phys. Cl. d. k. bay. Akademie d. Wiss. zu München, 1900, Heft I., p. 96–98; P. Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta mathematica 30 (1906), p. 363; E. Lindelöf, Sur un principe général de l'Analyse et ses applications à la théorie de la représentation conforme, Acta Soc. Scient. Fennicae, Tom. XLVI, No 4 (1915), p. 7. Laut mündlicher Mitleitung des Herrn L. Fejér kann man den Satz auch durch folgende einfache Überlegung begründen: Die Potenzreihe einer beschränkten Funktion ist auch eine Fourier'sche Reihe für die Randfunktion und ist daher an einer Unstetigkeitsstelle erster Art durch arithmetische Mittel summierbar. Daraus folgt nach dem verallgemeinerten, Abel-Frobenius'schen Satze, dass bei jeder beliebigen geradlinigen Annäherung jener Stelle aus dem Inneren des Kreises die Funktion ein und demselben Grenzwerte, nämlich der Reihensumme zustrebt. Andererseits sind F(x+iy) oder, wenn es beliebt, Reell-und Imaginarteil derselben harmonische Funktionen; der Grenzwert einer harmonischen Funktion an einer Unstetigkeitsstelle erster Art variirt aber mit dem Einfallswinkel und ist bei verschiedenen Geraden verschieden. Wir möchten noch bemerken, dass der Satz in den folgenden Ausführungen nicht wesentlich benützt wird; jedenfalls gestattet er uns, beim Rechnen mit F(ei t) auf eine gewisse Vorsicht zu verzichten, die bei Auftreten von Unstetigkeitsstellen angemessen wäre.
  • E. Helly, Über lineare Funktionaloperationen, Sitzungsber. d. kais. Akademie d. Wiss., Wien, Bd CXXI (1912) Abt. 1I a, p. 283.
  • Es sei nämlicha=a′+ia″, b=b′+ib″, so ist $|a + \lambda b| = [(a' + \lambda b')^2 + (a'' + \lambda b'')^2 ]^{\tfrac{1}{2}} ;|a + \lambda b|'_{\lambda = 0} = \left[ {\frac{{b'(a' + \lambda b') + b''(a'' + \lambda b'')}}{{|a + \lambda b|}}} \right]_{\lambda = 0} = \frac{{a'b' + a''b''}}{{|a|}}.$
  • Unter spezielleren Voraussetzungen (reelle Funktionen und reelles Parameter, endliche Anzahl von Zeichenwechsel) steht die Notwendigkeit der Bedingung schon in der ersten Arbeit von Th. J. Stieltjes: De la représentation approximative d'une fonction par une autre, Delft 1876, Oeuvres complètes, I, p. II.