Acta Mathematica

Zur Theorie der linearen Gleichungen

E. Study

Full-text: Open access

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Source
Acta Math. Volume 42 (1920), 1-61.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

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http://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887513

Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02404401

Zentralblatt MATH identifier
46.0144.06

Rights
1920 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B.

Citation

Study, E. Zur Theorie der linearen Gleichungen. Acta Math. 42 (1920), 1--61. doi:10.1007/BF02404401. http://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887513.


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Literatur

  • Eine eingehendere Untersuchung der Gleichungssysteme (1) wird man in einer in Vorbereitung begriffenen Schrift finden, in der auch eine geometrische Anwendung besprochen wird.
  • So verhält es sich im Bespiel $\begin{array}{*{20}c} {2\alpha _{11} = 2\alpha _{22} = e_2 + ie_3 ,} \\ {2\alpha _{21} = 2\alpha _{12} = e_2 + ie_2 .} \\ \end{array} $
  • Eine solche Zusammenfassung ist gelegentlich auch sonst schon vorgenommen worden.
  • Hierzu kommt noch, dass die entwickelte Theorie fast unverändert unter Umständen angewendet werden kann, in denen eine Äquivalenz der zu betrachtenden Grössenquadrupel mit zweireihigen Matrices überhaupt nicht vorhanden ist. Vgl. § 6.
  • Vgl. Math. Enc. Bd I, 1, S. 182. Französische Ausgabe I, 1, S. 435.
  • Siehe weiterhin S. 36.
  • Die Gleichungen (12) lassen noch erkennen, dass die Produkte $\Phi _{ik}^s = \Theta _{ks}^s ,\Psi _{ik}^s = H_{si}^k $ für die Matrix (Aik) eine ganz ähnliche Bedeutung haben, wie für die Matrix (aik) die Produkte $\vartheta _{ks}^i = \alpha _{ki} \tilde \alpha _{si} ,\eta _{si}^k = \tilde \alpha _{ks} \alpha _{ki} ,$ von denen wir die ersten zur Beschreibung des Bildungsgesetzes der ▽-Funktion benutzt hatten. — Natürlich würde sich das Bildungsgesetz der ▽-Funktion auch mit Hülfe der Produkte η ${}_{si}^{k}$ haben beschreiben lassen.—
  • Vgl. hierzu Hilbert, Math. Ann. Bd 32 (1888), S. 342, Acta Mathematica, Bd 17 (1893) S. 169. Archiv f. Math. (3), Bd 1 (1901), S. 224, und Grundlagen der Geometrie (3. Aufl., 1909) Kap. VII, § 38.
  • Th. Molien, Math. Ann. Bd 41 (1893), S. 113.
  • Vgl. etwa Molien, a. a. O., S. 110.
  • Übrigens gibt es auch noch anders geartete Fälle, in denen eine weitere Reduktion möglich ist. Vgl. § 7.
  • Jacobi's Ges. Werke, Bd IV, S. 25 u. ff. Neuere Darstellungen bei Kowalewski, Determinanten, Leipzig 1909, Kap. 9, und E. v. Weber, Pfaff'sches Problem, Leipzig 1900, Kap. I. Vgl. auch F. Engel in Grassmann's Werken I, 2, S. 474 u. ff., Leipzig 1896.
  • Von n=8 an kommen noch weitere Entwickelungen nach Art der Laplace'schen Determinantenformeln hinzu, z. B. $P = \frac{I}{3}\{ (I234)(5678) = | \cdots \} .$