La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet

Abstract

Nous savons que la méthode dite du balayage permet de démontrer le principe de Dirichlet dans le cas général.

Mais si cette méthode est très-bonne comme procédé de démonstration, elle est inférieure comme procédé de calcul à celle de Neumann. Celle-ci malheureusement n'était jusqu'ici applicable qu'aux surfaces convexes.

En m'appuyant sur le principe de Dirichlet supposé démontré par la méthode de balayage, j'ai montré que la méthode de Neumann (de même que celle de Robin) conduit à la solution du problème de Dirichlet aux conditions suivantes:

1. Si la surface S est simplement connexe.

2. Si cette surface a partout un plan tangent et deux rayons de courbure principaux déterminés.

3. Si la fonction donnée Φ a des dérivées de tous les ordres.

Toutes ces restrictions sont probablement inutiles et tout porte à penser que le théorème est vrai dans tous les cas. Mais je ne l'ai démontré qu'avec ces restrictions.

Après avoir établi ces résultats d'une façon rigoureuse, j'ai cru devoir dans les deux derniers chapitres, donner une idée des aperçus qui m'avaient d'abord conduit à les deviner. J'ai pensé que, malgré leur peu de rigueur, ils pouvaient être utiles comme procédés d'investigation, puisque je m'en étais déjà servi une fois avec succès.