We study the long-time behaviour of both the classical second-order Langevin dynamics and the nonlinear second-order Langevin dynamics of McKean–Vlasov type. By a coupling approach, we establish global contraction in an ${\mathit{L}}^1$ Wasserstein distance with an explicit dimension-free rate for pairwise weak interactions. For external forces corresponding to a κ-strongly convex potential a contraction rate of order $\mathcal{O}(\sqrt{\mathit{\kappa }})$ is obtained in certain cases. But the result is not restricted to these forces. It rather includes multi-well potentials and non-gradient-type external forces as well as non-gradient-type repulsive and attractive interaction forces. The proof is based on a novel distance function which combines two contraction results for large and small distances and uses a coupling approach adjusted to the distance. By applying a componentwise adaptation of the coupling we provide uniform in time propagation of chaos bounds for the corresponding mean-field particle system.

Nous étudions le comportement en temps long de la dynamique de second ordre de Langevin ainsi que sa version non linéaire de type McKean–Vlasov. Par une approche par couplage, nous établissons la contraction globale en distance de Wasserstein ${\mathit{L}}_1$ avec un taux explicite indépendant de la dimension dans le cas d’une faible interaction par paire. Lorsque la force de confinement correspond à un potentiel κ-fortement convexe, un taux de contraction de l’ordre de $\mathcal{O}(\sqrt{\mathit{\kappa }})$ est obtenu dans certains cas. Mais le résultat ne se limite pas à ce type de forces. En effet, il est possible de considérer également des confinements de type non gradient et multi-puits ainsi que des interactions non gradients atractives ou répulsives. Notre preuve repose sur une nouvelle fonction distance qui combine deux résultats de contraction pour les petites et grandes distances et utilise ainsi un couplage adapté. En utilisant une adaptation coordonnée par coordonnée du couplage nous obtenons la propagation du chaos uniforme en temps pour le système de particules à champ moyen associé.

We consider a system of N neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. When a neuron spikes, its potential is reset to 0 and all other neurons receive an additional amount $\mathit{h}/\mathit{N}$ of potential, where $\mathit{h}>0$ is some fixed parameter. In between successive spikes, each neuron’s potential follows a deterministic flow with drift b expressing both the attraction to an equilibrium potential and some leakage factors. While the propagation of chaos of the system, as $\mathit{N}\to \infty$, to a limit nonlinear jumping stochastic differential equation has already been established in a series of papers, see (J. Stat. Phys. 158 (2015) 866–902, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 52 (2016) 1844–1876, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 58 (2022) 343–378), the present paper is devoted to the associated central limit theorem. More precisely we study the measure valued process of fluctuations at scale ${\mathit{N}}^{-1/2}$ of the empirical measures of the membrane potentials, centered around the associated limit. We show that this fluctuation process, interpreted as càdlàg process taking values in a suitable weighted Sobolev space, converges in law to a limit process characterized by a system of stochastic differential equations driven by Gaussian white noise. We complete this picture by studying the fluctuations, at scale ${\mathit{N}}^{-1/2}$, of the membrane potential processes around their associated limit quantities, giving rise to a mesoscopic approximation of the membrane potentials that take into account the correlations within the finite system.

Nous considérons un système de N neurones. Chaque neurone décharge un potentiel d’action à des instants aléatoires, à un taux qui dépend de son potentiel de membrane. Ce potentiel est alors remis à 0, et tous les autres neurones reçoivent une charge supplémentaire de $\mathit{h}/\mathit{N}$, où $\mathit{h}>0$ est un paramètre fixé. Entre deux décharges successives, le potentiel de membrane de chaque neurone est attiré vers un potentiel d’équilibre et évolue selon un flot déterministe avec dérive b. Alors que la propriété de propagation du chaos du système, lorsque $\mathit{N}\to \infty$, vers la solution d’une équation différentielle stochastique non-linéaire à sauts a déjà été établie dans une série d’articles, voir (J. Stat. Phys. 158 (2015) 866–902, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 52 (2016) 1844–1876, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 58 (2022) 343–378), cet article est consacré à l’étude des fluctuations associées. Plus précisément, nous étudions le processus à valeurs mesures des fluctuations des mesures empiriques, centrées autour de leur limite, et renormalisées par ${\mathit{N}}^{-1/2}$. Nous montrons que ce processus, interprété comme processus càdlàg à valeurs dans un espace de Sobolev convenable, converge en loi vers un processus limite qui est caractérisé par un système d’équations différentielles stochastiques, dirigées par un bruit blanc gaussien. Nous complétons ce résultat par l’étude des fluctuations, à l’échelle ${\mathit{N}}^{-1/2}$, des processus de potentiel de membrane, autour de leurs limites respectives. Nous obtenons ainsi une approximation mésoscopique des processus potentiel de membrane qui tient compte des corrélations présentes dans le système fini.

The empirical optimal transport (OT) cost between two probability measures from random data is a fundamental quantity in transport based data analysis. In this work, we derive novel guarantees for its convergence rate when the involved measures are different, possibly supported on different spaces. Our central observation is that the statistical performance of the empirical OT cost is determined by the less complex measure, a phenomenon we refer to as lower complexity adaptation of empirical OT. For instance, under Lipschitz ground costs, we find that the expected error between the empirical OT cost based on n observations and the population quantity decreases with rate ${\mathit{n}}^{-1/\mathit{d}}$ if one of the two measures is concentrated on a d-dimensional manifold, while the other can be arbitrary. For semi-concave ground costs, we show that the upper bound for the rate improves to ${\mathit{n}}^{-2/\mathit{d}}$. Similarly, our theory establishes the general convergence rate ${\mathit{n}}^{-1/2}$ for semi-discrete OT. All of these results are valid in the two-sample case as well. Our findings therefore suggest that the curse of dimensionality only affects the estimation of the OT cost when both measures exhibit a high intrinsic dimension. Our proofs are based on the dual formulation of OT as a maximization over a suitable function class ${\mathcal{F}}_{\mathit{c}}$ and the observation that the c-transform of ${\mathcal{F}}_{\mathit{c}}$ under bounded costs has the same uniform metric entropy as ${\mathcal{F}}_{\mathit{c}}$ itself.

Le coût empirique de transport optimal (OT) entre deux mesures de probabilité issues de données aléatoires est une quantité fondamentale pour l’analyse de données basée sur la théorie du transport optimal. Dans ce travail, nous dérivons de nouvelles garanties pour le taux de convergence de cette quantité quand les mesures en jeu sont différentes et potentiellement supportées sur des espaces différents. Notre observation centrale est que la performance statistique du coût de transport empirique est déterminée par la mesure dont la complexité est la plus faible, un phénomène que nous nommons l’adaptivité à la complexité la plus faible du coût de transport empirique. Par exemple, dans le cas d’une fonction de coût lipschitzienne, nous trouvons que l’espérance de l’erreur entre le coût de transport optimal empirique basé sur n observations et son équivalent dans la population décroît à un taux ${\mathit{n}}^{-1/\mathit{d}}$ si une des deux mesures est concentrée sur une variété de dimension d, l’autre mesure pouvant être arbitraire. Pour des fonctions de coût semi-concaves, nous montrons que la borne supérieure pour le taux est meilleure et d’ordre ${\mathit{n}}^{-2/\mathit{d}}$. De manière similaire, notre théorie montre que le taux ${\mathit{n}}^{-1/2}$ est atteint pour le transport semi-discret. Tous les résultats s’appliquent aussi au cas de deux échantillons. Nos résultats suggèrent que le fléau de la dimension n’affecte l’estimation du coût de transport optimal que quand les deux mesures ont une dimension intrinsèque élevée. Nos preuves se basent sur la formulation duale du problème de transport optimal, une maximisation sur une classe de fonctions ${\mathcal{F}}_{\mathit{c}}$, et l’observation que la c-transformée de ${\mathcal{F}}_{\mathit{c}}$, dans le cas de fonctions de coûts bornées, a la même entropie métrique uniforme que ${\mathcal{F}}_{\mathit{c}}$ elle-même.

We consider the problem of optimal transportation with general cost between an empirical measure and a general target probability on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, with $\mathit{d}\ge 1$. We provide results on asymptotic stability of optimal transport potentials under minimal regularity assumptions on the costs or the underlying probability. This stability is combined with a refined linearization technique based on the sequential compactness of the closed unit ball in ${\mathit{L}}^2(\mathit{P})$ for the weak topology and the strong convergence of Cesàro means along subsequences. As a result we obtain a CLT for the transportation cost under sharp smoothness and moment assumptions, giving a positive answer to a conjecture in (Ann. Probab. 47 (2019) 926–951) for the quadratic costs.

Nous considérons le problème du transport optimal avec coût général entre une mesure empirique et une probabilité cible générale sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, avec $\mathit{d}\ge 1$. Nous fournissons des résultats sur la stabilité asymptotique des potentiels de transport optimal sous des hypothèses minimales de régularité sur les coûts ou les probabilités sous-jacentes. Cette stabilité est combinée avec une technique de linéarisation affinée basée sur la compacité séquentielle de la boule fermée unité dans ${\mathit{L}}^2(\mathit{P})$ pour la topologie faible et la convergence forte des moyennes de Cesàro le long de sous-suites. En conséquence, nous obtenons un Théorème Limite en distribution pour le coût de transport sous des hypothèses minimales, donnant une réponse positive à une conjecture dans (Ann. Probab. 47 (2019) 926–951) pour les coûts quadratiques.

We consider small noise perturbations to an ordinary differential equation (ODE) that have a uniform absorbing state and exhibit transient dynamics in the sense that interesting dynamical behaviors governed by transient states display over finite time intervals and the eventual dynamics is simply controlled by the absorbing state. To capture the transient states, we study the noise-vanishing concentration of the so-called quasi-stationary distributions (QSDs) that describe the dynamics before reaching the absorbing state. By establishing concentration estimates based on constructed uniform-in-noises Lyapunov functions, we show that QSDs tend to concentrate on the global attractor of the ODE as noises vanish, and that each limiting measure of QSDs, if exists, must be an invariant measure of the ODE. Overcoming difficulties caused by the degeneracy and singularity of noises at the absorbing state, we further show the tightness of the family of QSDs under additional assumptions motivated by applications, that not only validates a priori information on the concentration of QSDs, but also asserts the reasonability of using QSDs in the mathematical modeling of transient states. Our approaches to the concentration and tightness of QSDs are purely analytic without probabilistic heuristics. Applications to diffusion approximations of chemical reactions and birth-and-death processes of logistic type are also discussed. Rigorously studying the transient dynamics and characterizing the transient states, our study is of both theoretical and practical significance.

Nous considérons de petites perturbations par le bruit d’une équation différentielle ordinaire (EDO) qui ont un état d’absorption uniforme et présentent une dynamique transiente dans le sens où des comportements dynamiques intéressants régis par des états transients apparaissent sur des intervalles de temps finis et la dynamique finale est simplement contrôlée par l’état d’absorption. Pour capturer les états transients, nous étudions la concentration en fonction du bruit des distributions dites quasi-stationnaires (QSD) qui décrivent la dynamique avant d’atteindre l’état absorbant. En établissant des estimations de concentration basées sur des fonctions de Lyapunov construites uniformément par rapport au bruit, nous montrons que les QSD ont tendance à se concentrer sur l’attracteur global de l’EDO lorsque le bruit disparaît, et que chaque mesure limite des QSD, si elle existe, doit être une mesure invariante de l’EDO. Surmontant les difficultés causées par la dégénérescence et la singularité des bruits à l’état absorbant, nous montrons en outre la tension de la famille des QSD sous des hypothèses supplémentaires motivées par des applications, ce qui non seulement vérifie les informations a priori sur la concentration des QSD, mais aussi confirme le bien-fondé de l’utilisation des QSD dans la modélisation mathématique des états transients. Nos approches de la concentration et de la tension des QSD sont purement analytiques, sans heuristique probabiliste. Les applications aux approximations de diffusion des réactions chimiques et processus de naissance et de mort de type logistique sont également discutées. En étudiant rigoureusement la dynamique transiente et en caractérisant les états transients, notre étude présente un intérêt à la fois théorique et pratique.

In this article we establish a new formula for the difference of a test function of the solution of a stochastic differential equation and of the test function of an Itô process. The introduced formula essentially generalizes both the classical Alekseev–Gröbner formula from the literature on deterministic differential equations as well as the classical Itô formula from stochastic analysis. The discovered formula, which we suggest to refer to as Itô–Alekseev–Gröbner formula, is a powerful tool for deriving strong approximation rates for perturbations and approximations of stochastic ordinary and partial differential equations.

Dans cet article nous présentons une nouvelle formule qui exprime la différence entre une fonction test appliquée à une solution d’une équation différentielle stochastique et la même fonction test appliquée à un processus d’Itô. Cette formule généralise à la fois la formule classique d’Alekseev–Gröbner pour les équations différentielles déterministes et la formule d’Itô de l’analyse stochastique. Ainsi, nous suggérons de l’appeler formule d’Itô–Alekseev–Gröbner. Il s’agit d’un outil puissant pour dériver les taux d’approximation forte pour des perturbations et approximations d’équations différentielles stochastiques et d’équations à dérivées partielles stochastiques.

We establish analogues of the geometric Pitman $2\mathit{M}-\mathit{X}$ theorem of Matsumoto and Yor and of the classical Dufresne identity, for a multiplicative random walk on positive definite matrices with Beta type II distributed increments. The Dufresne type identity provides another example of a stochastic matrix recursion, as considered by Chamayou and Letac (J. Theoret. Probab. 12, 1999), that admits an explicit solution.

Nous établissons des analogues de la version géométrique du théorème 2M-X de Pitman, démontrée par Matsumoto et Yor, et de l’identité de Dufresne classique, pour une marche aléatoire multiplicative sur l’ensemble des matrices définies positives d’incréments distribués selon une loi Bêta II. L’identité de Dufresne proposée fournit un autre exemple de récursion matricielle stochastique, comme l’ont considéré Chamayou et Letac (J. Theoret. Probab. 12, 1999), qui admet une solution explicite.

Let ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_{\mathit{n}}$ denote independent p-dimensional vectors with independent complex or real valued entries such that $\mathbb{E}[{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}]=\mathbf{0}$, $Var({\mathbf{x}}_{\mathit{i}})={\mathbf{I}}_{\mathit{p}}$, $\mathit{i}=1,\dots ,\mathit{n}$, let ${\mathbf{T}}_{\mathit{n}}$ be a $\mathit{p}\times \mathit{p}$ Hermitian nonnegative definite matrix and f be a given function. We prove that an appropriately standardized version of the stochastic process ${(tr(\mathit{f}({\mathbf{B}}_{\mathit{n},\mathit{t}})))}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}$ corresponding to a linear spectral statistic of the sequential empirical covariance estimator

$${({\mathbf{B}}_{\mathit{n},\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}={\left(\frac{1}{\mathit{n}}\sum _{\mathit{i}=1}^{\lfloor \mathit{n}\mathit{t}\rfloor }{\mathbf{T}}_{\mathit{n}}^{1/2}{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}^{\star }{\mathbf{T}}_{\mathit{n}}^{1/2}\right)}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}$$

converges weakly to a non-standard Gaussian process for $\mathit{n},\mathit{p}\to \infty$. As an application, we use these results to develop a novel approach for monitoring the sphericity assumption in a high-dimensional framework, even if the dimension of the underlying data is larger than the sample size.

Soient ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_{\mathit{n}}$ des vecteurs p-dimensionnels indépendants aux composantes complexes ou réelles indépendantes tels que $\mathbb{E}[{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}]=\mathbf{0}$, $Var({\mathbf{x}}_{\mathit{i}})={\mathbf{I}}_{\mathit{p}}$, $\mathit{i}=1,\dots ,\mathit{n}$. Soit ${\mathbf{T}}_{\mathit{n}}$ une matrice hermitienne positive définie d’ordre p et soit f une fonction donnée. Nous démontrons qu’une certaine version normalisée du processus ${(tr(\mathit{f}({\mathbf{B}}_{\mathit{n},\mathit{t}})))}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}$ que l’on peut voir comme une statistique spectrale linéaire du processus de covariance empirique

$${({\mathbf{B}}_{\mathit{n},\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}={\left(\frac{1}{\mathit{n}}\sum _{\mathit{i}=1}^{\lfloor \mathit{n}\mathit{t}\rfloor }{\mathbf{T}}_{\mathit{n}}^{1/2}{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}{\mathbf{x}}_{\mathit{i}}^{\star }{\mathbf{T}}_{\mathit{n}}^{1/2}\right)}_{\mathit{t}\in [{\mathit{t}}_0,1]}$$

converge faiblement vers un processus gaussien non standard lorsque $\mathit{n},\mathit{p}\to \infty$. Afin d’illustrer l’utilité de ce résultat, nous construisons un nouveau test de sphéricité dans le cadre de données en grande dimension, qui reste valide dans un régime où la dimension des données est supérieure à la taille de l’échantillon.

Median-of-means (MOM) based procedures provide non-asymptotic and strong deviation bounds even when data are heavy tailed and/or corrupted. This work proposes a new general and systematic way to bound the excess risk for MOM estimators. The core technique is the use of the VC-dimension (instead of Rademacher complexity) to measure the statistical complexity. In particular, this allows one to give the first robust estimators for sparse estimation which achieves the so-called subgaussian rate, only assuming a finite second moment for the uncorrupted data.

By comparison, previous works using Rademacher complexities required a number of finite moments that grows logarithmically with the dimension. With this technique, we derive new robust subgaussian bounds for mean estimation in any norm.

Les procédures basées sur la médiane des moyennes (MOM) fournissent des bornes non asymptotiques et fortes, même lorsque les données ont des queues de distribution lourdes et/ou sont corrompues. Ce travail propose une nouvelle méthode générale et systématique pour limiter le risque des estimateurs MOM. La technique de base est l’utilisation de la dimension VC (au lieu de la complexité de Rademacher) pour mesurer la complexité statistique. Cela permet en particulier de trouver des estimateurs robustes pour l’estimation sparse qui atteignent le taux dit sous-gaussien en supposant seulement un second moment fini pour les données non corrompues.

En comparaison, les travaux précédents utilisant les complexités de Rademacher nécessitaient un nombre de moments finis de l’ordre du logarithme de la dimension, donc dépendant de la dimension. Grâce à cette technique, nous proposons de nouvelles bornes sous-gaussiennes robustes pour l’estimation de la moyenne dans n’importe quelle norme.

We prove large deviation principles (LDPs) for random matrices in the orthogonal group and Stiefel manifold, determining both the speed and good convex rate functions that are explicitly given in terms of certain log-determinants of trace-class operators and are finite on the set of Hilbert-Schmidt operators M satisfying $\Vert \mathit{M}{\mathit{M}}^{\ast }\Vert <1$. As an application of those LDPs, we determine the precise large deviation behavior of k-dimensional random projections of high-dimensional product distributions using an appropriate interpretation in terms of point processes, also characterizing the space of all possible deviations. The case of uniform distributions on ${\ell }_{\mathit{p}}$-balls, $1\le \mathit{p}\le \infty$, is then considered and reduced to appropriate product measures. Those applications generalize considerably the recent work (Studia Mathematica 264 (2022) 103–119).

Nous prouvons des principes de grandes déviations (LDPs) pour les matrices aléatoires uniformes sur le groupe orthogonal et les variétés de Stiefel, en déterminant à la fois la vitesse et les bonnes fonctions de taux convexes qui sont explicitement données en termes de certains log-déterminants d’opérateurs à trace, et sont finies sur l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt M satisfaisant $\Vert \mathit{M}{\mathit{M}}^{\ast }\Vert <1$. Comme application de ces LDPs, nous déterminons le comportement précis des grandes déviations des projections aléatoires de dimension k des lois de produit de grande dimension en utilisant une interprétation appropriée en termes de processus ponctuels, caractérisant également l’espace de toutes les déviations possibles. Le cas des lois uniformes sur les boules ${\ell }_{\mathit{p}}$, $1\le \mathit{p}\le \infty$, est ensuite considéré et réduit à des mesures produit appropriées. Ces applications généralisent considérablement les travaux récents (Studia Mathematica 264 (2022) 103–119).

A sorting network is a shortest path from $12\dots \mathit{n}$ to $\mathit{n}\dots 21$ in the Cayley graph of the symmetric group ${\mathfrak{S}}_{\mathit{n}}$ spanned by adjacent transpositions. The paper computes the edge local limit of the uniformly random sorting networks as $\mathit{n}\to \infty$. We find the asymptotic distribution of the first occurrence of a given swap $(\mathit{k},\mathit{k}\mathbf{+}1)$ and identify it with the law of the smallest positive eigenvalue of a $2\mathit{k}\times 2\mathit{k}$ aGUE (an aGUE matrix has purely imaginary Gaussian entries that are independently distributed subject to skew-symmetry). Next, we give two different formal definitions of a spacing – the time distance between the occurrence of a given swap $(\mathit{k},\mathit{k}\mathbf{+}1)$ in a uniformly random sorting network. Two definitions lead to two different expressions for the asymptotic laws expressed in terms of derivatives of Fredholm determinants.

Un réseau de tri est un chemin le plus court de $12\dots \mathit{n}$ à $\mathit{n}\dots 21$ dans le graphe de Cayley du groupe symétrique ${\mathfrak{S}}_{\mathit{n}}$, engendré par des transpositions des éléments adjacents. Dans cet article nous calculons la limite locale au bord des réseaux de tri choisi uniformément quand $\mathit{n}\to \infty$. Nous trouvons la distribution asymptotique de la première occurrence d’une transposition donnée $(\mathit{k},\mathit{k}\mathbf{+}1)$ et l’identifions avec la loi de la plus petite valeur propre positive d’un $2\mathit{k}\times 2\mathit{k}$ aGUE (une matrice aGUE a des entrées gaussiennes purement imaginaires qui sont distribuées indépendamment sous condition d’antisymétrie). Ensuite, nous considerons des espacements entre deux occurrences consecutives d’un échange donné (k, k + 1) pour un réseau de tri aléatoire choisi uniformément. Nous prenons deux formalisations pour un choix aléatoire d’un tel espacement. En passant à limite, ces deux définitions conduisent à deux expressions différentes pour des lois asymptotiques exprimées en termes de dérivées des déterminants de Fredholm.

In this paper, we show the central limit theorem for the logarithmic determinant of the sample correlation matrix R constructed from the $(\mathit{p}\times \mathit{n})$-dimensional data matrix X containing independent and identically distributed random entries with mean zero, variance one and infinite fourth moments. Precisely, we show that for $\mathit{p}/\mathit{n}\to \mathit{\gamma }\in (0,1)$ as $\mathit{n},\mathit{p}\to \infty$ the logarithmic law

$$\frac{logdet\mathbf{R}-(\mathit{p}-\mathit{n}\mathbf{+}\frac{1}{2})log(1-\mathit{p}/\mathit{n})\mathbf{+}\mathit{p}-\mathit{p}/\mathit{n}}{\sqrt{-2log(1-\mathit{p}/\mathit{n})-2\mathit{p}/\mathit{n}}}\stackrel{\mathit{d}}{\to }\mathit{N}(0,1)$$

is still valid if the entries of the data matrix X follow a symmetric distribution with a regularly varying tail of index $\mathit{\alpha }\in (3,4)$. The latter assumptions seem to be crucial, which is justified by the simulations: if the entries of X have the infinite absolute third moment and/or their distribution is not symmetric, the logarithmic law is not valid anymore. The derived results highlight that the logarithmic determinant of the sample correlation matrix is a very stable and flexible statistic for heavy-tailed big data and open a novel way of analysis of high-dimensional random matrices with self-normalized entries.

Dans cet article, nous démontrons le théorème de la limite centrale pour le déterminant logarithmique d’une matrice de corrélation R construite à partir d’une matrice de données X de taille $(\mathit{p}\times \mathit{n})$ contenant des entrées indépendantes d’espérance 0, variance 1 et quatrième moment infini. Plus précisément, nous démontrons que dans le régime $\mathit{p}/\mathit{n}\to \mathit{\gamma }\in (0,1)$ quand $\mathit{n},\mathit{p}\to \infty$ la loi logarithmique

$$\frac{logdet\mathbf{R}-(\mathit{p}-\mathit{n}\mathbf{+}\frac{1}{2})log(1-\mathit{p}/\mathit{n})\mathbf{+}\mathit{p}-\mathit{p}/\mathit{n}}{\sqrt{-2log(1-\mathit{p}/\mathit{n})-2\mathit{p}/\mathit{n}}}\stackrel{\mathit{d}}{\to }\mathit{N}(0,1)$$

est toujours valable si les entrées de la matrice de données X suivent une distribution symétrique avec une queue à variation régulière d’indice $\mathit{\alpha }\in (3,4)$. Ces dernières conditions semblent être cruciales, ce qui est justifié par les simulations : si les entrées de X n’ont pas de troisième moment et/ou si leur distribution n’est pas symétrique, la loi logarithmique n’est plus valable. Les résultats obtenus mettent en évidence que le déterminant logarithmique d’une matrice de corrélation est une statistique très stable et flexible pour les données massives à queue lourde et ouvrent une nouvelle voie pour analyser les grandes matrices aléatoires avec entrées auto-normalisées.

We show that the number of real roots of random trigonometric polynomials with i.i.d. coefficients, which are either bounded or satisfy the logarithmic Sobolev inequality, satisfies an exponential concentration of measure.

Nous montrons que le nombre des racines réelles de polynômes trigonométriques aléatoires avec des coefficients i.i.d., qui sont soit bornés soit satisfont l’inégalité de Sobolev logarithmique, vérifie une concentration exponentielle de mesure.

In this work we study the concentration properties of log-concave measures which potential is curved only on a subspace of directions. Proofs use an adapted version of the stochastic localization process.

Dans cet article, nous étudions les propriétés de concentration des mesures log-concaves dont le potentiel est courbé sur un sous-espace de directions. L’étude se fait via une version adaptée de la localisation stochastique.

Couplings play a central role in the analysis of Markov chain convergence and in the construction of novel Markov chain Monte Carlo estimators, diagnostics, and variance reduction techniques. The set of possible couplings is often intractable, frustrating the search for tight bounds and efficient estimators. To address this challenge for algorithms in the Metropolis–Hastings (MH) family, we establish a simple characterization of the set of MH transition kernel couplings. We then extend this result to describe the set of maximal couplings of the MH kernel, resolving an open question of O’Leary, Wang and Jacob (In Proceedings of The 24th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (2021) 1225–1233 PMLR). Our results represent an advance in understanding the MH transition kernel and a step forward for coupling this popular class of algorithms.

Les techniques de couplage jouent un rôle central dans l’analyse de la convergence des chaînes de Markov et dans la construction de nouveaux estimateurs à partir de Chaînes de Markov par Monte Carlo, ainsi que de diagnostiques et techniques de réduction de la variance. Souvent, l’ensemble des couplages possibles n’est pas calculable et la recherche de bornes précises et d’estimateurs efficaces semble hors d’atteinte. Pour aborder un tel défi pour les algorithmes de la famille Metropolis–Hastings (MH), nous établissons une caractérisation simple de l’ensemble des couplages des noyaux de transition MH. Nous étendons ensuite ce résultat en décrivant l’ensemble des couplages maximaux des noyaux MH, résolvant une question ouverte de O’Leary, Wang and Jacob (In Proceedings of The 24th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (2021) 1225–1233 PMLR). Nos résultats représentent un progrès dans la compréhension des noyaux de transition MH et des couplages pour cette classe d’algorithmes populaire.

We prove a Central Limit Theorem for probability measures defined via the variation of the sum-of-digits function, in base $\mathit{b}\ge 2$. For $\mathit{r}\ge 0$ and $\mathit{d}\in \mathbb{Z}$, we consider ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}(\mathit{d})$ as the density of integers $\mathit{n}\in \mathbb{N}$ for which the sum of digits increases by d when we add r to n. We give a probabilistic interpretation of ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ on the probability space given by the group of b-adic integers equipped with the normalized Haar measure. We split the base-b expansion of the integer r into so-called “blocks”, and we consider the asymptotic behaviour of ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ as the number of blocks goes to infinity. We show that, up to renormalization, ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ converges to the standard normal law as the number of blocks of r grows to infinity. We provide an estimate of the speed of convergence. The proof relies, in particular, on a ϕ-mixing process defined on the b-adic integers.

On prouve un Théorème Central Limite pour des mesures de probabilités définies grâce à la variation de la somme des chiffres en base $\mathit{b}\ge 2$. Pour $\mathit{r}\ge 0$ et $\mathit{d}\in \mathbb{Z}$, on considère ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}(\mathit{d})$, la densité des entiers $\mathit{n}\in \mathbb{N}$ pour lesquels la somme des chiffres augmente de d quand on ajoute r à n. On donne une interprétation probabiliste de ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ sur l’espace de probabilités donné par le groupe des entiers b-adiques muni de la mesure de Haar renormalisée. On décompose l’écriture en base b d’un entier r en ce que l’on appelle des “blocs”, et nous considérons le comportement asymptotique de ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ quand le nombre de blocs tend vers l’infini. On montre qu’à renormalisation près, ${\mathit{\mu }}^{(\mathit{r})}$ converge vers une loi normale centrée réduite quand le nombre de blocs de r tend vers l’infini. Nous fournissons une estimation de la vitesse de convergence. La preuve repose, entre autres, sur un processus ϕ-mélangeant défini sur les entiers b-adiques.

It is well-known that, for sufficiently mixing dynamical systems, the number of visits to balls and cylinders of vanishing measure is approximately Poisson compound distributed in the Kac scaling. Here we extend this kind of results when the target set is an arbitrary set with vanishing measure in the case of ϕ-mixing systems. The error of approximation in total variation is derived using Stein–Chen method. An important part of the paper is dedicated to examples to illustrate the assumptions, as well as applications to temporal synchronisation of g-measures.

Il est bien connu que, pour les systèmes dynamiques suffisamment mélangeant, la loi du nombre de visites dans les boules et les cylindres de mesure tendant vers zéro, est proche d’une loi de Poisson composée à l’échelle de Kac. Ici, nous étendons ce type de résultats lorsque l’ensemble cible est un ensemble arbitraire de mesure qui tend vers zéro, dans le cas des systèmes ϕ-mélangeants. L’erreur d’approximation en variation totale est obtenue à l’aide de la méthode de Stein–Chen. Une partie importante de l’article est consacrée à des exemples pour illustrer les hypothèses, ainsi qu’à des applications à la synchronisation temporelle de g-mesures.

We show that the critical density of the Activated Random Walk model on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ is strictly less than one when the sleep rate λ is small enough, and tends to 0 when $\mathit{\lambda }\to 0$, in any dimension $\mathit{d}\ge 1$. As far as we know, the result is new for $\mathit{d}=2$.

We prove this by showing that, for high enough density and small enough sleep rate, the stabilization time of the model on the d-dimensional torus is exponentially large. To do so, we fix the the set of sites where the particles eventually fall asleep, which reduces the problem to a simpler model with density one. Taking advantage of the Abelian property of the model, we show that the stabilization time stochastically dominates the escape time of a one-dimensional random walk with a negative drift. We then check that this slow phase for the finite volume dynamics implies the existence of an active phase on the infinite lattice.

Nous démontrons que la densité critique du modèle des Marches Aléatoires Activées sur ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ est strictement inférieure à 1 quand le taux d’endormissement λ est suffisamment petit, et tend vers 0 quand $\mathit{\lambda }\to 0$, en toute dimension $\mathit{d}\ge 1$. À notre connaissance, le résultat est nouveau pour $\mathit{d}=2$.

Nous obtenons ce résultat en prouvant que, pour une densité suffisamment élevée et un taux d’endormissement suffisamment petit, le temps de stabilisation du modèle sur le tore en dimension d est exponentiellement grand. Pour cela, nous fixons l’ensemble des sites sur lesquels les particules s’endorment, ce qui réduit le problème à un modèle plus simple avec densité 1. En utilisant la propriété d’Abélianité du modèle, nous montrons que le temps de stabilisation domine stochastiquement le temps d’atteinte de 0 pour une marche aléatoire en dimension 1 avec une dérive négative. Nous vérifions ensuite que cette phase de stabilisation lente pour la dynamique en volume fini implique l’existence d’une phase active sur le réseau infini.

In this paper, we prove the hydrodynamic limit of the t-PNG model using soft techniques. One key element of the proof is the construction of a colored version of the t-PNG model, which allows us to apply the superadditive ergodic theorem and obtain the hydrodynamic limit, albeit without identifying the limiting constant. We then find this constant by proving a law of large numbers for the α-points. Along the way, we construct the stationary t-PNG model and prove a version of Burke’s theorem for it.

Dans cet article, nous prouvons la limite hydrodynamique du modèle t-PNG en utilisant des méthodes peu techniques. Un élément clé de la preuve est la construction d’une version colorée du modèle t-PNG, qui nous permet d’appliquer le théorème ergodique sur-additif et d’obtenir la limite hydrodynamique, mais sans identifier la constante limite. Nous trouvons ensuite cette constante en démontrant une loi des grands nombres pour les α-points. Ce faisant, nous construisons le modèle stationnaire t-PNG et prouvons une version du théorème de Burke pour celui-ci.

We prove the height functions for a class of non-integrable and non-stationary particle systems converge to the KPZ equation, thereby making progress on the universality of the KPZ equation. The models herein are ASEP (Comm. Math. Phys. 183 (1997) 571–606) with a mesoscopic family of slow bonds, thus we partially extend (Comm. Math. Phys. 346 (2016) 801–838) to non-stationary models and add to the almost empty set of non-integrable, non-stationary interacting particle systems for which universality is established. To do this, we develop further the strategy of (Yang (2020); Probab. Theory Related Fields 183 (2022) 415–545) introduce a method to establish a novel principle that builds upon the classical hydrodynamic limits of (Comm. Math. Phys. 118 (1988) 31–59) and that we call local hydrodynamics.

Nous prouvons que les fonctions de hauteur pour une classe de systèmes de particules non-intégrables et non-stationnaires convergent vers l’équation KPZ, contribuant ainsi à l’universalité de l’équation KPZ. Les modèles présentés ici sont des modèles ASEP (Comm. Math. Phys. 183 (1997) 571–606) avec une famille mésoscopique de liaisons lentes, nous étendons donc partiellement (Comm. Math. Phys. 346 (2016) 801–838) aux modèles non-stationnaires et donnons un des rares exemples de systèmes de particules en interaction non-intégrables et non-stationnaires pour lesquels l’universalité est établie. Pour ce faire, nous développons davantage la stratégie de (Yang (2020) ; Probab. Theory Related Fields 183 (2022) 415–545) en introduisant une méthode pour établir un nouveau principe qui s’appuie sur les limites hydrodynamiques classiques de (Comm. Math. Phys. 118 (1988) 31–59) et que nous appelons hydrodynamique locale.

We consider Bernoulli first-passage percolation on the triangular lattice in which sites have 0 and 1 passage times with probability p and $1-\mathit{p}$, respectively. For each $\mathit{p}\in (0,{\mathit{p}}_{\mathit{c}})$, let $\mathcal{B}(\mathit{p})$ be the limit shape in the classical “shape theorem”, and let $\mathit{L}(\mathit{p})$ be the correlation length. We show that as $\mathit{p}\uparrow {\mathit{p}}_{\mathit{c}}$, the rescaled limit shape $\mathit{L}{(\mathit{p})}^{-1}\mathcal{B}(\mathit{p})$ converges to a Euclidean disk. This improves a result of Chayes et al. [J. Stat. Phys. 45 (1986) 933–951]. The proof relies on the scaling limit of near-critical percolation established by Garban et al. [J. Eur. Math. Soc. 20 (2018) 1195–1268], and uses the construction of the collection of continuum clusters in the scaling limit introduced by Camia et al. [Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 299 (2019) 44–89].

Nous considérons la percolation de premier passage de Bernoulli sur le réseau triangulaire dans lequel les sites ont des temps de passage de 0 et 1 avec une probabilité de p et $1-\mathit{p}$, respectivement. Pour tout $\mathit{p}\in (0,{\mathit{p}}_{\mathit{c}})$, soit $\mathcal{B}(\mathit{p})$ la forme limite donnée par le “théorème de la forme” classique, et soit $\mathit{L}(\mathit{p})$ la longueur de corrélation. Nous montrons que lorsque $\mathit{p}\uparrow {\mathit{p}}_{\mathit{c}}$, la forme limite renormalisée $\mathit{L}{(\mathit{p})}^{-1}\mathcal{B}(\mathit{p})$ converge vers un disque Euclidien. Ceci améliore un résultat de Chayes et al. [J. Stat. Phys. 45 (1986) 933–951]. La preuve repose sur la limite d’échelle de la percolation presque-critique établie par Garban et al. [J. Eur. Math. Soc. 20 (2018) 1195–1268], et utilise la construction de l’ensemble de clusters dans le continu dans la limite d’échelle introduite par Camia et al. [Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 299 (2019) 44–89].

We examine a class of random walks in random environments on $\mathbb{Z}$ with bounded jumps, a generalization of the classic one-dimensional model. The environments we study have i.i.d. transition probability vectors drawn from Dirichlet distributions. For the transient case of this model, we characterize ballisticity—nonzero limiting velocity. We do this in terms of two parameters, ${\mathit{\kappa }}_0$ and ${\mathit{\kappa }}_1$. The parameter ${\mathit{\kappa }}_0$ governs finite trapping effects. The parameter ${\mathit{\kappa }}_1$, which already is known to characterize directional transience, also governs repeated traversals of arbitrarily large regions of the graph. We show that the walk is ballistic if and only if $min({\mathit{\kappa }}_0,|{\mathit{\kappa }}_1|)>1$. We prove some stronger results regarding moments of the quenched Green function and other functions that the quenched Green function dominates. These results help us to better understand the phenomena and parameters affecting ballisticity.

Nous considérons une classe de marches aléatoires dans des environnements aléatoires sur $\mathbb{Z}$ avec des sauts bornés, une généralisation du modèle classique unidimensionnel. Les environnements que nous étudions ont des vecteurs de probabilité de transition i.i.d. tirés selon des lois de Dirichlet. Pour le cas transient de ce modèle, nous caractérisons la balisticité (vitesse limite non nulle). Nous le faisons en fonction de deux paramètres, ${\mathit{\kappa }}_0$ et ${\mathit{\kappa }}_1$. Le paramètre ${\mathit{\kappa }}_0$ régit les effets de pièges finis. Le paramètre ${\mathit{\kappa }}_1$, qui est déjà connu pour caractériser la transience directionnelle, contrôle également les traversées répétées de régions arbitrairement grandes du graphe. Nous montrons que la marche est balistique si et seulement si $min({\mathit{\kappa }}_0,{\mathit{\kappa }}_1)>1$. Nous prouvons des résultats plus forts concernant les moments de la fonction de Green et d’autres fonctions que la fonction de Green domine. Ces résultats nous aident à mieux comprendre les phénomènes et les paramètres qui influent sur la balisticité.

Investigating a model of scale-invariant random spatial network suggested by Aldous, Kendall constructed a random metric T on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, for which the distance between points is given by the optimal connection time, when travelling on the road network generated by a Poisson process of lines with a speed limit. In this paper, we look into some fractal properties of that random metric. In particular, although almost surely the metric space $({\mathbb{R}}^{\mathit{d}},\mathit{T})$ is homeomorphic to the usual Euclidean ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, we prove that its Hausdorff dimension is given by $(\mathit{\gamma }-1)\mathit{d}/(\mathit{\gamma }-\mathit{d})>\mathit{d}$, where $\mathit{\gamma }>\mathit{d}$ is a parameter of the model; which confirms a conjecture of Kahn. We also find that the metric space $({\mathbb{R}}^{\mathit{d}},\mathit{T})$ equipped with the Lebesgue measure exhibits a multifractal property, as some points have untypically big balls around them.

En étudiant un modèle de “scale-invariant random spatial network” suggéré par Aldous, Kendall a construit une métrique aléatoire T sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, pour laquelle la distance entre les points est donnée par le temps de trajet optimal, lorsqu’on se déplace sur le réseau de routes engendré par un processus de Poisson de droites avec une limitation de vitesse. Dans cet article, nous nous intéressons aux propriétés fractales de cette métrique aléatoire. En particulier, bien que presque sûrement l’espace métrique $({\mathbb{R}}^{\mathit{d}},\mathit{T})$ soit homéomorphe à l’espace euclidien ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, nous montrons que sa dimension de Hausdorff est donnée par $(\mathit{\gamma }-1)\mathit{d}/(\mathit{\gamma }-\mathit{d})>\mathit{d}$, où $\mathit{\gamma }>\mathit{d}$ est un paramètre du modèle ; cela confirme une conjecture de Kahn. Nous montrons par ailleurs que l’espace métrique $({\mathbb{R}}^{\mathit{d}},\mathit{T})$ muni de la mesure de Lebesgue est multifractal, puisque certains points se trouvent être au centre de boules atypiquement grosses.

We consider the additive martingale ${\mathit{W}}_{\mathit{t}}(\mathit{\lambda })$ and the derivative martingale $\partial {\mathit{W}}_{\mathit{t}}(\mathit{\lambda })$ for one-dimensional supercritical super-Brownian motions with general branching mechanism. In the critical case $\mathit{\lambda }={\mathit{\lambda }}_0$, we prove that $\sqrt{\mathit{t}}{\mathit{W}}_{\mathit{t}}({\mathit{\lambda }}_0)$ converges in probability to a positive limit, which is a constant multiple of the almost sure limit $\partial {\mathit{W}}_{\infty }({\mathit{\lambda }}_0)$ of the derivative martingale $\partial {\mathit{W}}_{\mathit{t}}({\mathit{\lambda }}_0)$. We also prove that, on the survival event, ${lim\hspace{0.17em}sup}_{\mathit{t}\to \infty }\sqrt{\mathit{t}}{\mathit{W}}_{\mathit{t}}({\mathit{\lambda }}_0)=\infty$ almost surely.

Nous considérons la martingale additive ${\mathit{W}}_{\mathit{t}}(\mathit{\lambda })$ et la martingale dérivée $\partial {\mathit{W}}_{\mathit{t}}(\mathit{\lambda })$ pour les super-mouvements browniens surcritiques unidimensionnels avec mécanisme général de branchement. Dans le cas critique où $\mathit{\lambda }={\mathit{\lambda }}_0$, nous prouvons que $\sqrt{\mathit{t}}{\mathit{W}}_{\mathit{t}}({\mathit{\lambda }}_0)$ converge en probabilité vers une limite positive, qui est un multiple constant de la limite presque sûre $\partial {\mathit{W}}_{\infty }({\mathit{\lambda }}_0)$ de la martingale dérivée $\partial {\mathit{W}}_{\mathit{t}}({\mathit{\lambda }}_0)$. Nous prouvons également que, dans l’événement de survie, ${lim\hspace{0.17em}sup}_{\mathit{t}\to \infty }\sqrt{\mathit{t}}{\mathit{W}}_{\mathit{t}}({\mathit{\lambda }}_0)=\infty$ presque sûrement.

We define a graph process $\mathcal{G}(\mathit{p},\mathit{q})$ based on a discrete branching process with deletions and mergers, which is inspired by the 4-cycle structure of both the hypercube ${\mathit{Q}}_{\mathit{d}}$ and the lattice ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ for large d. Individuals have Poisson offspring distribution with mean $1\mathbf{+}\mathit{p}$ and certain deletions and mergers occur with probability q; these parameters correspond to the mean number of edges discovered from a given vertex in an exploration of a percolation cluster and to the probability that a non-backtracking path of length four closes a cycle, respectively.

We prove survival and extinction under certain conditions on p and q that heuristically match the known expansions of the critical probabilities for bond percolation on the lattice ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ and the hypercube ${\mathit{Q}}_{\mathit{d}}$. These expansions have been rigorously established by Hara and Slade in 1995, and van der Hofstad and Slade in 2006, respectively. We stress that our method does not constitute a branching process proof for the percolation threshold. However, it can provide a conjecture for other high-dimensional, odd-cycle free transitive graphs such as the body-centered cubic lattice.

The analysis of the graph process survival is considerably more challenging than for branching processes in discrete time, due to the interdependence between the descendants of different individuals in the same generation. In fact, it is left open whether the survival probability of $\mathcal{G}(\mathit{p},\mathit{q})$ is monotone in p or q; we discuss this and some other open problems regarding the new graph process.

Nous définissons un processus de graphes $\mathcal{G}(\mathit{p},\mathit{q})$ à partir d’un processus de branchement discret avec suppressions et fusions, qui s’inspire de la structure à 4 cycles de l’hypercube ${\mathit{Q}}_{\mathit{d}}$ et du réseau ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ pour des valeurs élevées de d. Les individus ont une loi de reproduction de Poisson avec une moyenne de $1\mathbf{+}\mathit{p}$ et certaines suppressions et fusions se produisent avec une probabilité q ; ces paramètres correspondent respectivement au nombre moyen d’arêtes découvertes à partir d’un sommet donné dans une exploration d’un amas de percolation et à la probabilité qu’un chemin sans retour de longueur quatre ferme un cycle.

Nous prouvons la survie et l’extinction sous certaines conditions sur p et q qui correspondent heuristiquement aux expansions connues des probabilités critiques de percolation des liaisons sur le réseau ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ et l’hypercube ${\mathit{Q}}_{\mathit{d}}$. Ces expansions ont été rigoureusement établies par Hara et Slade en 1995, et van der Hofstad et Slade en 2006, respectivement. Nous soulignons que notre méthode ne constitue pas une preuve pour le seuil de percolation qui utiliserait les processus de branchement.

L’analyse de la survie du processus de graphes est considérablement plus difficile que pour les processus de branchement en temps discret, en raison de l’interdépendance entre les descendants de différents individus dans la même génération. Par exemple, le fait que la probabilité de survie de $\mathcal{G}(\mathit{p},\mathit{q})$ est monotone en p ou q n’est pas clair ; nous discutons de ceci et de quelques autres problèmes ouverts concernant le nouveau processus de graphes.

In this work, we are interested in the set of visited vertices of a tree $\mathbb{T}$ by a randomly biased random walk $\mathbb{X}:=({\mathit{X}}_{\mathit{n}},\mathit{n}\in \mathbb{N})$. The aim is to study a generalized range, that is to say the volume of the trace of $\mathbb{X}$ with both constraints on the trajectories of $\mathbb{X}$ and on the trajectories of the underlying branching random potential $\mathbb{V}:=(\mathit{V}(\mathit{x}),\mathit{x}\in \mathbb{T})$. Focusing on slow regime’s random walks (see Hu and Shi (2016); Andreoletti and Chen in Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 54 (2018) 466–513), we prove a general result and detail examples. These examples exhibit many different behaviors for a wide variety of ranges, showing the interactions between the trajectories of $\mathbb{X}$ and the ones of $\mathbb{V}$.

Nous nous intéressons aux sommets d’un arbre de Galton–Watson $\mathbb{T}$ visités par une marche biaisée aléatoirement $\mathbb{X}:=({\mathit{X}}_{\mathit{n}},\mathit{n}\in \mathbb{N})$. Plus particulièrement, nous étudions une trace généralisée, c’est à dire le volume des points visités par $\mathbb{X}$ avec des containtes à la fois sur $\mathbb{X}$ et sur l’environnement aléatoire branchant $\mathbb{V}:=(\mathit{V}(\mathit{x}),\mathit{x}\in \mathbb{T})$. Nous nous concentrons sur le régime lent (voir Hu et Shi (2016) ; Andreoletti et Chen dans Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 54 (2018) 466–513), en montrant un résultat général et en détaillant des exemples caractéristiques. Ces exemples font apparaître une grande variété de comportements asymptotiques pour ce type de traces mettant en avant les interactions fortes entre $\mathbb{X}$ et $\mathbb{V}$.