Source: Notre Dame J. Formal Logic Volume 38, Number 2
(1997), 195-224.
From 1929 through 1944, Wittgenstein endeavors to clarify
mathematical meaningfulness by showing how (algorithmically decidable)
mathematical propositions, which lack contingent "sense," have mathematical sense in
contrast to all infinitistic "mathematical" expressions. In the middle period (1929-34),
Wittgenstein adopts strong formalism and argues that mathematical calculi are formal
inventions in which meaningfulness and "truth" are entirely
intrasystemic and epistemological affairs. In his later period (1937-44),
Wittgenstein resolves the conflict between his intermediate strong formalism and his
criticism of set theory by requiring that a mathematical calculus (vs. a
"sign-game") must have an extrasystemic, real world application, thereby
returning to the weak formalism of the Tractatus.
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@misc{30.0424.01,author="Hilbert,D.",title="{GrundlagenderGeometrie.}",language="German",howpublished="{Leipzig:B.G.Teubner.92S.gr.$8^circ$.(FestschriftzurFeierderEnthüllungdesGauss-Weber-DenkmalsinGöttingen.)(1899)}",year={1899},abstract="{DieseArbeitsolltejederlesen,dersichfürdieGrundlagenderGeometrieinteressirt;dennaufvielederhierhergehörigenFragengiebtsiezumerstenMaleeinebefriedigende,jaendgültigeAntwort.EineErgänzungzudenmanchmalnurknappenAusführungenderFestschriftbieteteinevonHilbertimWinter1898/99gehalteneVorlesung:``ElementedereuklidischenGeometrie'',dieabernurineinerbeschränktenAnzahlvonExemplarenautographirtunddaherleidernichtallgemeinzugänglichist.InKap.IderFestschriftgiebtHilbertzunächsteineAufzählungderAxiome,dieerzumAufbauderGeometriebenutzt.ErunterscheidetfünfGruppen:1.AxiomederVerknüpfung,diedieEigenschaftenderGeradenundderEbeneaussprechen.2.AxiomederAnordnung,diedenBegriff``zwischen''definiren.3.DaseuklidischeParallelenaxiom.4.DieAxiomederCongruenz.5.DasarchimedischeAxiom,dasdieEinführungderStetigkeitindieGeometrieermöglicht.Zubemerkenist,dassbeidenAxiomenNr.1vorausgesetztwird,dassjedeGerade,diezweiPunktemiteinerEbenegemeinhat,ganzinderEbeneliegt;alsodieFrage,wiemandieDefinitionderEbeneaufdiederGeradenzurückführenkann,bleibtausserBetracht.parInKap.IIbeweistHilbertdieWiderspruchsfreiheitseinerAxiome,indemeraufarithmetischemWegeeineMannigfaltigkeitconstruirt,diedenAxiomengenügt,sodannführterbeieinigenAxiomendenBeweis,dasssievondenübrigenunabhängigsind,nämlichbeimParallelenaxiome,denCongruenzaxiomenunddemarchimedischen.DieMethode,derenersichdabeibedient,unddieerauchindenautographirtenVorlesungenbenutzt,wodieUntersuchungüberdieUnabhängigkeitderAxiomevollständigerdurchgeführtwird,bestehtinderHerstellungvonMannigfaltigkeiten,diealleAxiomeerfüllenaussereinemodermehreren.NochniemalsistdieConstructionsolcherMannigfaltigkeitensosystematischangewandtworden,undmanmussdarineinesderfruchtbarstenHülfsmittelzurErledigungderartigerFragenerblicken.InKap.IIIwirdnacheinemeinleitendenParagraphen,dervondenEigenschaftencomplexerZahlensystemehandelt,derPascal'scheSatzfürdasGeradenpaarbewiesen,undzwaraufGrundallerAxiome,soweitsiesichaufdieEbenebeziehen,mitalleinigerAusnahmedesarchimedischen.AufdemPascal'schenSatzwirddanneineStreckenrechnungaufgebaut,dieeinevomarchimedischenAxiomeunabhängigeBegründungdereuklidischenProportionenlehreundderAehnlichkeitermöglicht;zugleichgelangtmansozueineranalytischenGeometrie,diediesesAxiomsnichtbedarf.Kap.IVentwickeltunterdenselbenVoraussetzungendieLehrevondenFlächeninhalteninderEbene.parKap.VistdemSatzedesDesarguesgewidmet.Esstelltsichheraus,dassdieserausdenAxiomenderebenenGeometriealleinnurdannbewiesenwerdenkann,wennmanalleCongruenzaxiomemitnimmt;denneslässtsicheineGeometrieconstruiren,diealleebenenAxiome(auchdasarchimedische)ausserdenenderCongruenzerfüllt,inderderSatzdesDesarguesnichtgilt,diesichdaherauchnichtalsTeileinerräumlichenGeometrieauffassenlässt.NunmehrsetztVerf.alleebenenAxiomemitAusnahmederjenigenderCongruenzunddesarchimedischenvorausundüberdiesdenDesargues'schenSatz.UnterdiesenAnnahmenbautereineStreckenrechnungaufundzeigt,dassderInbegriffallersodefinirtenStreckenderEbeneeincomplexesZahlensystembildet,fürdasallegewöhnlichenRechnungsregeln,nichtaberdascommutativeGesetzderMultiplicationundauchnichtdasarchimedischeAxiomgelten.MitHülfediesesZahlensystemskanneineräumlicheGeometriehergestelltwerden,inderdieursprünglicheebeneGeometriealsTeilenthaltenist.``DerDesargues'scheSatzkennzeichnetsichsogewissermassenfürdieebeneGeometriealsdasResultatderEliminationderräumlichenAxiome.''ZuwesentlichanderenErgebnissenführtinKap.VIdieUntersuchungdesPascal'schenSatzes.Dieserkannbewiesenwerden,wennmanalleAxiomeausserdenCongruenzaxiomenzulässt;aberseinBeweiswirdunmöglich,wennmanauchnochdasarchimedischeAxiomweglässt.EslässtsichmitHülfedesinKap.VeingeführtenZahlensystemseineräumlicheGeometrieconstruiren,inderalleAxiomeausserdenCongruenzaxiomenunddemarchimedischengültigsind,inderaberderPascal'scheSatzfürdasGeradenpaarnichtbesteht.DerinnereGrundhierfürliegtdarin,dasseinZahlensystemderimEingangvonKap.IIIdefinirtenArt,dasdemarchimedischenAxiomegenügt,notwendigcommutativeMultiplicationbesitzt,währendbeimWegfalldesarchimedischenAxiomsdieMultiplicationnichtmehrcommutativzuseinbraucht.ErfüllteineebeneGeometriealleAxiomeohneAusnahme,solässtsichjederinihrgültigeSchnittpunktsatzdurchConstructiongeeigneterHülfsgeradenundHülfspunktealseineCombinationderSätzevonDesarguesundPascaldarstellen;derBeweisdesSatzeslässtsichalsoohneBenutzungderCongruenzaxiomeführen.parKap.VIIendlichbehandeltdiegeometrischenConstructionen,diedurchZiehenvonGeradenunddurchAbtragenvonStreckenlösbarsind.NichtjededurchZirkelundLineallösbareAufgabeistauchaufdiesemWege(wieVerf.sichausdrückt:durchLinealundStreckenübertrager)lösbar;HilbertbestimmtaberdienotwendigenundhinreichendenBedingungen,unterdenensieesist,undzwaraufGrundgewissermerkwürdigerSätzeüberdieDarstellungganzerrationalerFunctionenvon$x$durcheinenQuotientenzweierSummenvonQuadraten.(DataofJFM:JFM30.0424.01;Copyright2004JahrbuchDatabaseusedwithpermission)}",reviewer="{Engel,Prof.(Leipzig)}",} 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