Disorder relevance for the random walk pinning model in dimension 3

Abstract

We study the continuous time version of the random walk pinning model, where conditioned on a continuous time random walk (Y_s)_s≥0 on ℤ^d with jump rate ρ > 0, which plays the role of disorder, the law up to time t of a second independent random walk (X_s)_0≤s≤t with jump rate 1 is Gibbs transformed with weight e^βL_t(X,Y), where L_t(X, Y) is the collision local time between X and Y up to time t. As the inverse temperature β varies, the model undergoes a localization–delocalization transition at some critical β_c ≥ 0. A natural question is whether or not there is disorder relevance, namely whether or not β_c differs from the critical point β_c^ann for the annealed model. In [3], it was shown that there is disorder irrelevance in dimensions d = 1 and 2, and disorder relevance in d ≥ 4. For d ≥ 5, disorder relevance was first proved in [2]. In this paper, we prove that if X and Y have the same jump probability kernel, which is irreducible and symmetric with finite second moments, then there is also disorder relevance in the critical dimension d = 3, and β_c − β_c^ann is at least of the order e^{−C(ζ)/ρζ}, C(ζ) > 0, for any ζ > 2. Our proof employs coarse graining and fractional moment techniques, which have recently been applied by Lacoin [13] to the directed polymer model in random environment, and by Giacomin, Lacoin and Toninelli [10] to establish disorder relevance for the random pinning model in the critical dimension. Along the way, we also prove a continuous time version of Doney’s local limit theorem [5] for renewal processes with infinite mean.

Résumé

Nous étudions la version à temps continu du modèle de marche aléatoire avec accrochage, où conditionné sur une marche aléatoire à temps continu (Y_s)_s≥0 sur ℤ^d avec taux de saut ρ > 0, qui joue le rôle de désordre, la loi jusqu’au temps t d’une seconde marche aléatoire indépendante (X_s)_0≤s≤t avec taux de saut 1 est la transformée de Gibbs avec poids e^βL_t(X,Y), où L_t(X, Y) est le temps local de collision entre X et Y jusqu’au temps t. Lorsque la température inverse β varie, le modèle subit une transition de localisation-délocalisation à un β_c ≥ 0 critique. Une question naturelle est de savoir s’il y a pertinence du désordre ou pas, i.e., si β_c diffère ou pas du point critique β_c^ann pour le modèle moyenné. Dans [3], il a été montré qu’il y avait non pertinence du désordre en dimensions d = 1 et 2, et pertinence du désordre lorsque d ≥ 4. Pour d ≥ 5, la pertinence du désordre fût d’abord prouvée dans [2]. Dans ce papier, nous prouvons que si X et Y ont le même noyau de probabilité de saut, qui est irréductible et symétrique avec des moments du second ordre finis, alors il y a également pertinence du désordre en dimension critique d = 3, et β_c − β_c^ann est au moins de l’ordre e^{−C(ζ)/ρζ}, C(ζ) > 0, pour tout ζ > 2. Notre preuve utilise des techniques de coarse graining et de moment fractionnaire, qui ont été récemment appliquées par Lacoin [13] au modèle de polymère dirigé en milieu aléatoire, et par Giacomin, Lacoin et Toninelli [10] pour établir la pertinence du désordre pour le modèle d’accrochages aléatoires en dimension critique. En chemin, nous prouvons également une version en temps continu du théorème limite local de Doney [5] pour des processus de renouvellement avec moyenne infinie.