Fractional multiplicative processes

Abstract

Statistically self-similar measures on [0, 1] are limit of multiplicative cascades of random weights distributed on the b-adic subintervals of [0, 1]. These weights are i.i.d., positive, and of expectation 1/b. We extend these cascades naturally by allowing the random weights to take negative values. This yields martingales taking values in the space of continuous functions on [0, 1]. Specifically, we consider for each H∈(0, 1) the martingale (B_n)_n≥1 obtained when the weights take the values −b^−H and b^−H, in order to get B_n converging almost surely uniformly to a statistically self-similar function B whose Hölder regularity and fractal properties are comparable with that of the fractional Brownian motion of exponent H. This indeed holds when H∈(1/2, 1). Also the construction introduces a new kind of law, one that it is stable under random weighted averaging and satisfies the same functional equation as the standard symmetric stable law of index 1/H. When H∈(0, 1/2], to the contrary, B_n diverges almost surely. However, a natural normalization factor a_n makes the normalized correlated random walk B_n/a_n converge in law, as n tends to ∞, to the restriction to [0, 1] of the standard Brownian motion. Limit theorems are also associated with the case H>1/2.

Résumé

Les mesures sur [0, 1] auto-similaires en loi sont limites de processus multiplicatifs construits à partir de poids aléatoires distribués sur les sous-intervalles b-adiques de [0, 1]. Ces poids sont i.i.d., positifs et d’espérance 1/b. Il est naturel d’étendre la construction à des poids prenant des valeurs négatives. On obtient alors des martingales à valeurs dans les fonctions continues sur [0, 1]. Nous nous intéressons, pour H∈(0, 1), à la martingale (B_n)_n≥1 de ce type construite en prenant des poids à valeurs dans {−b^−H, b^−H}, afin que B_n converge presque sûrement uniformément vers une fonction B auto-similaire en loi dont la régularité Höldérienne et les propriétés fractales soient comparables à celles du mouvement brownien fractionnaire d’exposant H. C’est bien le cas lorsque H∈(1/2, 1), et la construction fournit alors un nouvel exemple de loi invariante par moyenne pondérée aléatoire. Cette loi satisfait la même équation fonctionnelle qu’une loi stable symétrique usuelle d’indice 1/H. Si H∈(0, 1/2], B_n diverge presque sûrement, mais il existe une normalisation naturelle par une suite (a_n)_n≥1 telle que la marche aléatoire corrélée normalisée B_n/a_n converge en loi vers la restriction à [0, 1] du mouvement brownien standard. Des théorèmes limites sont également associés au cas H>1/2.