Collision probabilities in the rarefaction fan of asymmetric exclusion processes

Abstract

We consider the one-dimensional asymmetric simple exclusion process (ASEP) in which particles jump to the right at rate p∈(1/2, 1] and to the left at rate 1−p, interacting by exclusion. In the initial state there is a finite region such that to the left of this region all sites are occupied and to the right of it all sites are empty. Under this initial state, the hydrodynamical limit of the process converges to the rarefaction fan of the associated Burgers equation. In particular suppose that the initial state has first-class particles to the left of the origin, second-class particles at sites 0 and 1, and holes to the right of site 1. We show that the probability that the two second-class particles eventually collide is (1+p)/(3p), where a collision occurs when one of the particles attempts to jump over the other. This also corresponds to the probability that two ASEP processes, started from appropriate initial states and coupled using the so-called “basic coupling,” eventually reach the same state. We give various other results about the behaviour of second-class particles in the ASEP. In the totally asymmetric case (p=1) we explain a further representation in terms of a multi-type particle system, and also use the collision result to derive the probability of coexistence of both clusters in a two-type version of the corner growth model.

Résumé

Nous considérons le processus d’exclusion simple et asymétrique (ASEP) dans une dimension, dans lequel chaque particule saute à droite au taux p∈(1/2, 1] et à gauche au taux 1−p, avec interaction par exclusion. Dans l’état initial, il y a une région finie telle qu’à gauche de cette région, tous les sites sont occupés et qu’à sa droite, tous les sites sont vides. A partir de cet état initial, la limite hydrodynamique du processus converge à la solution de l’équation de Burgers associée. En particulier, supposez que l’état initial met des particules de première classe à gauche de l’origine, des particules de deuxième classe aux sites 0 et 1, et des vides à droite du site 1. Nous montrons que la probabilité que les deux particules de deuxième classe entrent en collision est (1+p)/(3p), où une collision se produit lorsque l’une des particules essaie de sauter sur la position de l’autre. Cela correspond également à la probabilité que deux processus ASEP, sous un couplage naturel et à partir d’une condition initiale appropriée, finissent par atteindre le même état. Nous donnons d’autres résultats sur le comportement des particules de deuxième classe dans le processus ASEP. Dans le cas totalement asymétrique (p=1), nous donnons une nouvelle représentation en termes d’un système de particules avec plusieurs types, et à l’aide du résultat sur la probabilité de collision, nous dérivons la probabilité de coexistence de deux amas dans un modèle de croissance avec deux types.